例5求微分方程y-2ay'+y=0的通解. 解 原方程对应的特征方程为2-2m+1=0, 2-2a±4a-4=at01, 2 (1)当d>1,即a>1或a<-1时，特征方程有两个不相等的实根 1=a+Va2-1,h=a-Va2-1, 故原方程的通解为 y=C,eaar+C,ea-Fx】 (2)当4=1，即a=1或a=-1时，特征方程有两个相等的实根 1=2=a, 故原方程的通解为y=(C,+C2x)e“. （3)当a<1,即-1<a<1时，特征方程有两个共轭复根 h2=a±iW1-a2, 故原方程的通解为 y=e(Ccosv1-a2x+C:sinv1-a2x). 4.二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法 例6求微分方程y”-y=4xe满足初始条件0=0，y10=1的特 解 解对应齐次方程的特征方程为2-1=0，特征根2=1.故对应 齐次微分方程的通解为y。=C,e+Cex. 因为元=1是特征方程的单根，所以设特解为yp=x(bx+b,)e, 212 例 5 求微分方程 y  2ay  y  0的通解. 解 原 方 程 对 应 的 特 征 方 程 为 2 1 0 2 r  ar   ， 2 2 4 4 2 1,2    a a r = 1 2 a  a  ， （1） 当 a  1，即 a  1或a  1时，特征方程有两个不相等的实根 1 2 r1  a  a  ， 1 2 r2  a  a  ， 故原方程的通解为 a a x a a x y C C ( 1) 2 ( 1) 1 2 2 e e       . （2） 当 a  1 ，即 a  1 或 a  1时，特征方程有两个相等的实根 r  r  a 1 2 ， 故原方程的通解为 ax y (C C x)e  1  2 . （ 3 ） 当 a  1 ， 即 1  a  1 时 ， 特 征 方 程 有 两 个 共 轭 复 根 2 1,2 r  a  i 1 a ， 故原方程的通解为 e ( cos 1 sin 1 ) 2 2 2 1 y C a x C a x ax     . 4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法 例 6 求微分方程 x y  y  4xe 满足初始条件 0 y x0  ， 1 y x0  的特 解.解 对应齐次方程的特征方程为 1 0 2 r   ，特征根 1 r1,2   ．故对应 齐次微分方程的通解为 x x yc C C   e  e 1 2 . 因为  1是特征方程的单根，所以设特解为 x P y x(b x b )e  0  1