$10.1基本概念和定理 5 若用(f)表示网络中从源s到t的最大流，则有： v(f)=f'(M,7)-f1,) (10.8) 用K表示最小割.根据割的概念，(f)应小于等于网络中最小割的容量(K),即 (f)=f(,T)-f(,)≤c(K*) (10.9) 由表10-1得出网络图10-3中从源s到汇t的最大流量不超过14单位。 三、最大流最小割定理 前面曾经指出，若∫广为满足下列条件的流： (f)=max{u(ff为G的一个流) 则称f为G的最大流 若K为满足下列条件的制 c(K)=min{c(K)川K为G的一个割} 则称K为最小割。 若网络G中由源s到汇t的流量达到最大值只能等于最小割K的容量，即()- c(K)。这就是著名的Ford-Fulkerson的最大流最小制定理，这是图和网络理论方面的 个重要定理，也是下面要叙述的用标记法求网络最大流的依据，在讲述这个定理之前先介 绍增流链的概念 在网络G中，设Q是一条从源到汇t的链，则在这条链Q上并且与Q的方向一致 的边，称为前向边，在Q上并且与Q的方向相反的边称为后向边. 例如在图10-3中，顶点序列s14t构成一条链，其中(s,),(1,),(4,)是前向 边，(，)是后向边 如果Q是从s到t的一条链，)是G的一个可行流，满足： 1.0≤<，当（位，）是Q的前向边： 2.0<≤4，当（，）是Q的后向边 则称此链为增流链。 如果在网络G上存在一条增流链Q,在前向边中，<G,在后向边中>0，则可 选择一适当小的正数： 0=min 了c-f,当（色，）是Q的前向边 当(6，)是Q的后向边 然后，再令前向边上的流都加日，后向边上的流都减A,不在增流链上的边，流不变。 用算式表示就是 +8,当位，)是Q的前向边： -8,当（位，》是Q的后向边： 其它 §10.1 ❑✁▲✁▼✁◆✁❖✁P✁◗ 5 ❂❊ v(f ∗ ) ➦✖➧ ✟✚✠❲✦✓❃✖Û s Ð t ✍✖✩✖➋✖✛, ✃❪ : v(f ∗ ) = f ∗ (V1, V 1) − f ∗ (V 1, V1) (10.8) ❊ K∗ ➦✖➧✩✖➌✖➈✖✜✵❾✁❿✖➈✖✍➉✖➊,v(f ∗ ) ❃✖➌✲ï ✲ ✟✚✠❲✦✚✩✖➌✖➈✖✍✖➆✖➱ c(K∗ ), ý v(f ∗ ) = f ∗ (V1, V 1) − f ∗ (V 1, V1) ≤ c(K∗ ) (10.9) ❚✚➦ 10–1 ❧❩ ✟✚✠⑥ 10–3 ✦✓❃✖Û s Ð✖Ü t ✍✖✩✖➋✖✛✖➱❏✦✖♣ 14 ❣✁➀✖✜ ➁➟♦➂➄➃➠➡➄➂➆➅✠♥➆➇✠➈ ➉⑨✑➊✓➋✡❩ , ❂ f ∗ ✘✁✷✁✸✁✹❘➷✁✺✍✖✛: v(f ∗ ) = max{v(f)|f✘ G ✍✖✳✖②✖✛}, ✃➚ f ∗ ✘ G ✍✙❶✁➌✁✟✖✜ ❂ K∗ ✘✁✷✁✸✁✹❘➷✁✺✍✖➈: c(K∗ ) = min{c(K)|K✘ G ✍✖✳✖②✖➈}, ✃➚ K∗ ✘✙❶✁❸✁❺✖✜ ❂✟✚✠ G ✦ ❚ Û s Ð✖Ü t ✍✖✛✖➱❍ Ð✖✩✖➋✁❄✁✫✖û✖ï✲✩✖➌✖➈ K ✍✖➆✖➱, ý v(f ∗ ) = c(K∗ )✜ ❻â✰✁➍✁➎ ✍ Ford-Fulkerson ✍✖✩✖➋✖✛✖✩✖➌✖➈✖➍✖➎✖✜ ❻✰✖⑥➇❲✟✚✠◆➎⑦❋✖⑨◆✍✖✳ ②☞⑧☞❉☞➍☞➎, ✯ ✰✹☞⑨☞❉✧➏①✍☞❊☞➐☞➑✖●☞▲❲✟✡✠✖✩✖➋☞✛✖✍✧➐✁❿☞✜ ⑩✁➑①❻②✖➍✖➎☞è➉r✖✧ ★✁➒✖✛✁➓✖✍➉✖➊✜ ⑩ ✟✚✠ G ✦ , ➤ Q ✰✳➷❃✖Û s Ð✖Ü t ✍✁➓, ✃✖⑩❻✖➷➓ Q ✮✁✍❛✁➔ Q ✍✖❋❲➥✚✳✁→ ✍s, ➚✘➉➥s, ⑩ Q ✮✁✍❛✁➔ Q ✍✖❋❲➥✓✮✁➣✖✍s ➚✘✁↔❲➥s ✜ ➀÷✖⑩⑥ 10–3 ✦ , q✖r✁↕❘ sv1v3v4t ❫✖þ✖✳➷➓ , ❵❲✦ (s, v1),(v1, v3),(v4,t) ✰➉➥ s,(v3, v4) ✰↔❲➥s ✜ ÷✁➙ Q ✰❃ s Ð t ✍✖✳➷➓ ,fij ✰ G ✍✖✳✖②✖✓✁✆✖✛, ✷✁✸: 1. 0 ≤ fij < ci,j , ❅ (i, j) ✰ Q ✍➉➥s; 2. 0 < fij ≤ ci,j , ❅ (i, j) ✰ Q ✍✁↔❲➥s; ✃➚✶✁➓✖✘✙➛✁✟✁➜✖✜ ÷✁➙✖⑩ ✟✚✠ G ✮✁❈✖⑩✳➷➒✖✛✁➓ Q, ⑩➉➥s ✦ fij < ci,j , ⑩ ↔❲➥s ✦ fij > 0, ✃✓ ➝✁➞✳✁➟❅➌✖✍✁➠✖✹ θ: θ = min ( ci,j − fi,j , ❅ (i, j) ✰ Q ✍➉➥s, fi,j , ❅ (i, j) ✰ Q ✍✁↔❲➥s ❉ ↔ , ➡✁➢➉➥s✖✮✍✖✛✿✁➤ θ, ↔❲➥s✖✮✍✖✛✿❼ θ, ❏✖⑩➒✖✛✁➓✮ ✍s, ✛❏✁❳✜ ❊✖❘✁■➦✖➧â✰ : f 0 i,j =    fi,j + θ, ❅ (i, j) ✰ Q ✍➉➥s; fi,j − θ, ❅ (i, j) ✰ Q ✍✁↔❲➥s; fi,j , ❵✖➂