并计算该直线的斜率：同理继续，最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜 率：最后对这些斜率取平均值，称之为B,即B的估计值。 (1)画出散点图，给出B的几何表示并推出代数表达式。 (2)计算B的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的？解 释理由。 (3)证明为什么该估计值不如我们以前用OLS方法所获得的估计值，并做具体解释。 解答： (1)散点图如图2-1所示。 (X2,Y2) (Xn,Yn) (X,Y) 图2-1 首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接(X,Y)和(X,Y,)的直线斜率为 (Y,-Y)(X,-X)。由于共有n-1条这样的直线，因此 =是2-与] n-1台X,-X (2)因为X非随机且E(4,)=0,因此 -长]=a+x,+,)-g+x+=B+长-A与]=B X,-X X,-X1 X,-X 这意味着求和中的每一项都有期望值B,所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏 的。 (3)根据高斯一马尔可夫定理，只有B的OLS估计量是最佳线性无偏估计量，因此， 这里得到的B的有效性不如B的OLS估计量，所以较差。 例6.对于人均存款与人均收入之间的关系式S,=+Y,+4,使用美国36年的年度数 据得如下估计模型，括号内为标准差： S,=384.105+0.067Y, (151.105)(0.011) 55 并计算该直线的斜率；同理继续，最终将第 1 个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜 率；最后对这些斜率取平均值，称之为 β ˆ ，即 β 的估计值。 （1）画出散点图，给出 β ˆ 的几何表示并推出代数表达式。 （2）计算 β ˆ 的期望值并对所做假设进行陈述。这个估计值是有偏的还是无偏的？解 释理由。 （3）证明为什么该估计值不如我们以前用 OLS 方法所获得的估计值，并做具体解释。 解答： （1）散点图如图 2-1 所示。 （X2,Y2） （Xn,Yn） （X1,Y1） 图 2-1 首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。连接 ( , ) X1 Y1 和 ( , ) Xt Yt 的直线斜率为 ( )/( ) Yt −Y1 Xt − X1 。由于共有n －1 条这样的直线，因此 [ ] 1 1 ˆ 2 1 1 ∑= − − − = n t t t X X Y Y n β （2）因为 X 非随机且 E(µt ) = 0 ，因此 β µ µ β α β µ α β µ = − − = + − + + − + + = − − ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ 1 1 1 1 1 1 1 X X E X X X X E X X Y Y E t t t t t t t 这意味着求和中的每一项都有期望值 β ，所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏 的。 （3）根据高斯－马尔可夫定理，只有 β 的 OLS 估计量是最佳线性无偏估计量，因此， 这里得到的 β ˆ 的有效性不如 β 的 OLS 估计量，所以较差。 例 6．对于人均存款与人均收入之间的关系式 St = α + βYt + µt 使用美国 36 年的年度数 据得如下估计模型，括号内为标准差： (151.105) (0.011) 384.105 0.067 ˆ St = + Yt