IF=FI=F. (F) 所以也有时候就把它写为1。 由于算符的基本运算是加和乘,所以并不是任何的算符“函数”都是有意义的,除非这个函数可以 被展开为收敛的幂级数,即,如果一个复函数f(=)可以写为 f(=) Cn 那么算符O的函数f(O)就定义为 个常用的例子是指数函数eO,它定义为 所以不难验证 e v(r)=y"dy -=y(x+a) 除此之外,像1/O(逆算符)这样的“函数”只在算符“可逆”的情况下才有意义。 由一个算符F还可以产生它的一些“伴生”算符。在量子力学里最常用的是F的 Hermitian(厄密) 共轭算符,记为F+,定义为:若 y(FD)dr=(Fv)odr,(Vv,o 则F+称为F的 Hermitian共轭算符 定义:若算符F满足 也就是说, (o)dr=(Fy'o dr, (Vv,o 那么F称为自厄密共轭算符,简称为 Hermitian(厄密的)算符。 其他的一些伴生算符,例如复共轭算符,转置算符等等,今后用得不多,这里就不细讲了。 4.算符的对易关系 两个算符相乘的结果可能与乘的次序有关,也就是说,算符的乘积一般说是不满足交换律的 定义:表达式 IF,G= FG-GP 称为F和G的对易括号或对易子。在[F,G]=0时,称F和G对易,否则称为不对易。对易也就是“可 以交换位置”。 我们经常需要进行对易括号的运算,以便从已知的对易括号导出新的对易括号 对易括号的基本性质如下。 (1)对易括号是交换反对称的,即 [A,B]=-[B,小 (2)对易括号是线性的,即 [A+B,C]=[A,C]+[B,C」 [A,B+C]=[A,B]+[A,C [CA, B=[A,cB=c[A, B] 其中c是常数。 (3)算符乘积的对易括号的展开法则是 LAB, C=AB, C+[A,C]B2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ I F F I F F = =  . ( ) 所以也有时候就把它写为 1。 由于算符的基本运算是加和乘，所以并不是任何的算符“函数”都是有意义的，除非这个函数可以 被展开为收敛的幂级数，即，如果一个复函数 f z( ) 可以写为 0 ( ) , n n n f z c z  = =  那么算符 O ˆ 的函数 ˆ f O( ) 就定义为 0 ˆ ˆ ( ) . n n n f O c O  = =  一个常用的例子是指数函数 ˆ e O ，它定义为 ˆ 0 1 ˆ e . ! O n n O n  = =  所以不难验证 ( / ) 0 e ( ) ( ). ! n n a d dx n n a d x x a n dx     = = = +  除此之外，像 ˆ 1/O （逆算符）这样的“函数”只在算符“可逆”的情况下才有意义。 由一个算符 F ˆ 还可以产生它的一些“伴生”算符。在量子力学里最常用的是 F ˆ 的 Hermitian（厄密） 共轭算符，记为 F ˆ + ，定义为：若 ˆ ˆ         ( ) ( ) , ( , ) F d F d  +    =  则 + F ˆ 称为 F ˆ 的 Hermitian 共轭算符。 定义：若算符 F ˆ 满足 F ˆ = F ˆ + , 也就是说， ˆ ˆ         ( ) ( ) , ( , ) F d F d     =  那么 F ˆ 称为自厄密共轭算符，简称为 Hermitian（厄密的）算符。 其他的一些伴生算符，例如复共轭算符，转置算符等等，今后用得不多，这里就不细讲了。 4. 算符的对易关系 两个算符相乘的结果可能与乘的次序有关，也就是说，算符的乘积一般说是不满足交换律的。 定义：表达式 F G F ˆ G ˆ G ˆ F ˆ ] ˆ , ˆ [  − 称为 F ˆ 和 G ˆ 的对易括号或对易子。在 ] 0 ˆ , ˆ [F G = 时，称 F ˆ 和 G ˆ 对易，否则称为不对易。对易也就是“可 以交换位置”。 我们经常需要进行对易括号的运算，以便从已知的对易括号导出新的对易括号。 对易括号的基本性质如下。 （1）对易括号是交换反对称的，即 ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [A B = − B A . （2）对易括号是线性的，即 ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ˆ [A + B C = A C + B C , ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ ˆ , ˆ [A B + C = A B + A C , ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [cA B = A cB = c A B , 其中 c 是常数。 （3）算符乘积的对易括号的展开法则是 AB C A B C A C B ˆ ] ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [ ˆ ] ˆ , ˆ ˆ [ = +