·1114· 智能系统学报 第14卷 R1(v(x)={x∈Uv(x)≥a} 种数学描述和解释。 R(vx))=IxEUB<v(x)<a (3) 定义5假设论域U是一个有限非空子集， R3(v(x)={x∈Uv()≤) 我们用一个简单的例子来说明定义1.2018 记apr=(U,R)为粗糙近似空间。U通过等价关系 R划分成互不相交的子集，形成论域U上的一个 年四川省高考理科一本分数线是546分，二本分 划分U/R={[xx∈U。对于XsU,其上下近似可 数线是458分。对于某一考生，高考成绩大于或 等于546分可以报考一本大学：小于458分只能 表示为 apr(X)=(U[x]X): 选择二本以下的专科或职业学院学习；考试分数 apr(X)={x∈UxnX≠O)= (8) 在区间[458,546)进入二本高校学习。进一步 {x∈U-(x≤X) 地，下面定义3和定义4给出了三支多准则决策 上下近似将论域分为正域POS(X)、负域NEG(X) 和三支多目标决策的基本数学模型。 和边界域BND(X),其定义分别为 定义3假设U是一个有限非空的论域， POS(X)apr(X)=[x E Ul[x]cX): (L,≤)是一个全序集合，C={c1,c2,…,cm}是m个决 BND(X)=apr(X)-apr(X) 策准则构成的集合，v%:U→L定义了在准则c:下 {x∈U-(IxX)A-(xSX):= (9) 的评价函数值，1≤i≤m。则对于Yx∈U,其总体 NEG(X)=U-apr(X)= 评价结果可由一个线性加权组合来定义： {x∈UI[x]∈X} B(x)=WiVe(x)+w2Ve(x)+...+WaVe(x) (4) 由正域导出的正规则表示接受对象x属于 %为准则G的权重，它满足∑%=1。 X;由负域导出的负规则表示拒绝接受对象x属 于X:而由边界域导出的不确定规则表示x可能 两个阈值M和W(M>W),其三支多准则决策结 属于X。可以看到，上述“三分而治”的思想赋予 果可表示为 了粗糙集理论一种基于决策视角的语义解释。 R1((x)={x∈U八(x)≥M} 进一步地，我们考虑概率粗糙集的情形，它通 R2((x)={x∈UN<(x)<M (5) R3((x)={x∈U(x)≤N 过引入两个阈值a和B对Pawlak粗糙集上下近 相对于定义2而言，定义3进一步考虑了各个 似集的定义进行扩展，使得获取的决策规则更为 准则的权重，这更符合实际决策问题中的需求。 灵活。 定义4假设U是一个有限非空的论域，U= 定义6假设论域U是一个有限非空子集， RUR2UR3;R1(a,B),R2(a,B)和R3(a,代表3个 R是定义在U上的一种等价关系。记apra=(U,R) 决策区域R、R2和R所产生的决策风险，则总体 为概率粗糙近似空间，对于XSU,令0≤B<a≤1， 决策风险可表示为 则概率粗糙集的（α，β）-上下近似集可定义为 R(a.B)=aR(q.B)+bR2(a.B)+cX:(a.B) (6) apmW=eUIPr(≥a叫l 其中，a、b和c为R1(a,B)、R2(a,B)和R3(a,)相 apr(c.(X)=(xE UIPr(XIIx])>B) (10) 对应的风险系数，三支多目标决策的任务是如何 其中，P(X[x)=I[dnx/Ixl表示分类的条件概 选取合适的α和B值，使得下列式子中的总体决 率，H表示集合中元素的基数。同样地，在概率 策风险最小： 粗糙集中，（α，β）-上下近似集将论域分为3个部 arg min (a,B) (7) 分：POSa.m(X),BND.(X)和NEGa,(X),其定义 值得一提的是，不同于定义2和定义3，式 分别为 POSa.(X)={x∈UIPr(Xx)≥al (7)中α和B的取值不是由决策者事先给定的，而 BND(.(X)=(xEUB<Pr(XI[x])<a) (11) 是在实际决策问题中，通过目标函数和约束条件 NEGa.m(X)={x∈UIPr(X[)≤\ 构建相应的优化数学模型求解得到。 相对于式(9)，式(11)进一步考虑了决策规则 2三支决策、粗糙集与决策粗糙集 的容错性，这更符合人类的决策认知。然而，在 定义6中的阈值α和B都是人为事先给定的，这 三支决策思想最早来源于粗糙集理论。众所 在实际决策过程中往往过于主观和难以获取。为 周知，Pawlak粗糙集对信息系统不确定性的描述 了回答和改进上述难题，决策粗糙集将贝叶斯理 是通过上下近似集来实现的。两个近似集对论域 论引入到概率粗糙集中，利用损失函数来构造决 的划分形成3个两两互不相交的决策区域：正 策总体风险最小时的三支决策划分策略，极大地 域、负域和边界域，这自然形成了对三支决策的 推进了粗糙集理论的发展。R1(v(x)) = {x ∈ U| v(x) ⩾ α} R2(v(x)) = {x ∈ U|β < v(x) < α} R3(v(x)) = {x ∈ U|v(x) ⩽ β} (3) 我们用一个简单的例子来说明定义 1。2018 年四川省高考理科一本分数线是 546 分，二本分 数线是 458 分。对于某一考生，高考成绩大于或 等于 546 分可以报考一本大学；小于 458 分只能 选择二本以下的专科或职业学院学习；考试分数 在区间 [458，546) 进入二本高校学习。进一步 地，下面定义 3 和定义 4 给出了三支多准则决策 和三支多目标决策的基本数学模型。 (L, ⪯) C = {c1, c2,··· , cm} vci : U → L ci 1 ⩽ i ⩽ m ∀x ∈ U 定义 3 假 设 U 是一个有限非空的论域， 是一个全序集合， 是 m 个决 策准则构成的集合， 定义了在准则 下 的评价函数值， 。则对于 ，其总体 评价结果可由一个线性加权组合来定义： v¯(x) = w1vc1 (x)+w2vc2 (x)+···+wnvcm (x) (4) wi ci ∑m i=1 wi = 1 M N M > N 其中 为准则 的权重，它满足 。给定 两个阈值 和 ( )，其三支多准则决策结 果可表示为 R1(v¯(x)) = {x ∈ U| v¯(x) ⩾ M} R2(¯v(x)) = {x ∈ U|N < v¯(x) < M} R3(¯v(x)) = {x ∈ U|v¯(x) ⩽ N} (5) 相对于定义 2 而言，定义 3 进一步考虑了各个 准则的权重，这更符合实际决策问题中的需求。 R1 ∪R2 ∪R3 ℜ1(α,β) ℜ2(α,β) ℜ3(α,β) 定义 4 假设 U 是一个有限非空的论域，U = ； ， 和 代表 3 个 决策区域 R1、R2 和 R3 所产生的决策风险，则总体 决策风险可表示为 ℜ(α,β) = aℜ1(α, β)+bℜ2(α, β)+cℜ3(α, β) (6) ℜ1(α,β) ℜ2(α,β) ℜ3(α,β) α β 其中，a、b 和 c 为 、 和 相 对应的风险系数，三支多目标决策的任务是如何 选取合适的 和 值，使得下列式子中的总体决 策风险最小： argmin (α,β) ℜ(α, β) (7) α β 值得一提的是，不同于定义 2 和定义 3，式 (7) 中 和 的取值不是由决策者事先给定的，而 是在实际决策问题中，通过目标函数和约束条件 构建相应的优化数学模型求解得到。 2 三支决策、粗糙集与决策粗糙集 三支决策思想最早来源于粗糙集理论。众所 周知，Pawlak 粗糙集对信息系统不确定性的描述 是通过上下近似集来实现的。两个近似集对论域 的划分形成 3 个两两互不相交的决策区域：正 域、负域和边界域，这自然形成了对三支决策的 一种数学描述和解释。 U apr = (U,R) U R U U/R = {[x]|x ∈ U} X ⊆ U 定义 5 假设论域 是一个有限非空子集， 记 为粗糙近似空间。 通过等价关系 划分成互不相交的子集，形成论域 上的一个 划分 。对于 ，其上下近似可 表示为    apr(X) = {x ∈ U|[x] ⊆ X}; apr(X) = {x ∈ U|[x]∩ X , Ø} = {x ∈ U|¬([x] ⊆ X c )} (8) POS(X) NEG(X) BND(X) 上下近似将论域分为正域 、负域 和边界域 ，其定义分别为    POS(X) = apr(X) = {x ∈ U|[x] ⊆ X}; BND(X) = apr(X)−apr(X) {x ∈ U|¬([x] ⊆ X}∧ ¬([x] ⊆ X c )};= NEG(X) = U −apr(X) = {x ∈ U|[x] ⊆ X c } (9) 由正域导出的正规则表示接受对象 x 属于 X；由负域导出的负规则表示拒绝接受对象 x 属 于 X；而由边界域导出的不确定规则表示 x 可能 属于 X。可以看到，上述“三分而治”的思想赋予 了粗糙集理论一种基于决策视角的语义解释。 α β 进一步地，我们考虑概率粗糙集的情形，它通 过引入两个阈值 和 对 Pawlak 粗糙集上下近 似集的定义进行扩展，使得获取的决策规则更为 灵活。 apr(α,β) = (U,R) X ⊆ U 0 ⩽ β < α ⩽ 1 (α,β) 定义 6 假设论域 U 是一个有限非空子集， R 是定义在 U 上的一种等价关系。记 为概率粗糙近似空间，对于 ，令 ， 则概率粗糙集的 -上下近似集可定义为 apr (α, β) (X) = {x ∈ U|Pr(X|[x]) ⩾ α} apr(α, β) (X) = {x ∈ U|Pr(X|[x]) > β} (10) Pr(X|[x]) = |[x]∩ X|/|[x]| |·| (α,β) POS(α, β)(X) BND(α, β)(X) NEG(α, β)(X) 其中， 表示分类的条件概 率， 表示集合中元素的基数。同样地，在概率 粗糙集中， -上下近似集将论域分为 3 个部 分： ， 和 ，其定义 分别为 POS(α, β)(X) = {x ∈ U|Pr(X|[x]) ⩾ α} BND(α, β)(X) = {x ∈ U|β < Pr(X|[x]) < α} NEG(α, β)(X) = {x ∈ U|Pr(X|[x]) ⩽ β} (11) α β 相对于式 (9)，式 (11) 进一步考虑了决策规则 的容错性，这更符合人类的决策认知。然而，在 定义 6 中的阈值 和 都是人为事先给定的，这 在实际决策过程中往往过于主观和难以获取。为 了回答和改进上述难题，决策粗糙集将贝叶斯理 论引入到概率粗糙集中，利用损失函数来构造决 策总体风险最小时的三支决策划分策略，极大地 推进了粗糙集理论的发展。 ·1114· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷