其中k为任意矢量。但它对每一个平移算符都是相同的。 这样,晶体中单电子的波函数将同时要由空间位置变量r和出现在平移算符本征值 中的位矢k来表征,故可记为vk(r)。由上面的讨论,可得到 T(Rnwk(r)=ev(r) 或 k(r+r 这就是布洛赫定理的第二种形式,我们因此证明了布洛赫定理。 显然,布洛赫函数是由晶体平移对称性直接得出的,因而是所有电子波函数所具有 的共同形式。其中e“为其平面波因子,描述电子在各原胞之间的公有化运动;t+(r) 是周期函数因子,描述电子在原胞中的运动。从物理上讲,电子波受到晶体势场的调制, 不同材料的晶体势场只能引起调幅部分(r)的不同,而不会改变布洛赫波的共同形 612波矢k的取值与物理意义 布洛赫函数中的k是波矢量,可用它来标记电子的状态。由于 T(R, Wi(r)=V(r+R)=e -RnVr(r) (6.14) T(R,WkG(r)=ykg(r+rn)=emnyuG(r (6.15) 可见算符T(Rn)对这两个波矢相差一个倒格矢的波函数有相同的本征值。为使k的取值 范围同算符T(Rn)的本征值一一对应,可把k值限制在一定区域内,这样k和k+G表 示两个等价的电子状态,它们有相同的电荷分布,故vk(r)可看成倒格空间或波矢空间 的周期函数。为描述电子的独立状态,就需要把倒格空间划分成一些周期性重复单元 并进一步把波矢k限制在一个单元中,这个单元就是第一或简约布里渊区。 对自由电子波函数,即平面波v()=e,M是动量算符V的本征值, P=Mk是处在状态vk(r)的电子动量。但对于布洛赫函数,由于 VUr(r)=-vleux(r)]=hkex +er-Vu(r) (6.16) 右边第二项通常不为零,所以布洛赫函数vk(r)不是动量算符的本征态,加之M和其中 k 为任意矢量。但它对每一个平移算符都是相同的。 这样，晶体中单电子的波函数将同时要由空间位置变量 r 和出现在平移算符本征值 中的位矢 k 来表征，故可记为 r)( ψ k 。由上面的讨论，可得到 rR )()( r)( k Rik kn ψ nψ • T = e 或 Rr )( r)( k Rik k n ψ nψ • =+ e （6.12） 这就是布洛赫定理的第二种形式，我们因此证明了布洛赫定理。 显然，布洛赫函数是由晶体平移对称性直接得出的，因而是所有电子波函数所具有 的共同形式。其中 为其平面波因子，描述电子在各原胞之间的公有化运动； 是周期函数因子，描述电子在原胞中的运动。从物理上讲，电子波受到晶体势场的调制， 不同材料的晶体势场只能引起调幅部分 的不同，而不会改变布洛赫波的共同形 式。 ⋅rik e r)( k u r)( k u 6.1.2 波矢 k 的取值与物理意义 布洛赫函数中的 k 是波矢量，可用它来标记电子的状态。由于 RrrR r)()()()( k Rik k n ψψ n ψ ⋅ T =+= e n k （6.14） RrrR )()()( r)( Gk Rik Gkn Gk n n + ⋅ T + ψψ + =+= e ψ （6.15） 可见算符 对这两个波矢相差一个倒格矢的波函数有相同的本征值。为使 k 的取值 范围同算符 的本征值一一对应，可把 k 值限制在一定区域内，这样 k 和 k + G 表 示两个等价的电子状态，它们有相同的电荷分布，故 )( T Rn )( T Rn r)( ψ k 可看成倒格空间或波矢空间 的周期函数。为描述电子的独立状态，就需要把倒格空间划分成一些周期性重复单元， 并进一步把波矢 k 限制在一个单元中，这个单元就是第一或简约布里渊区。 对自由电子波函数，即平面波 rk k ⋅ = i e V 1 ψ r)( ， hk 是动量算符 ∇ i h 的本征值， = hkp 是处在状态 r)( ψ k 的电子动量。但对于布洛赫函数，由于 r )]([)( kr r)( k rk k k rk k u i ue e i i i i ∇=∇ ∇+= ⋅ ⋅ h h h h ψ ψ （6.16） 右边第二项通常不为零，所以布洛赫函数 r)( ψ k 不是动量算符的本征态，加之 hk 和 4