(1) dx,0<a<+∞; (2) sin -dx,0<a<2 解(1)取6=√2>0,4>0,取A=">4,=3x,以=a,=1, 18 则当n充分大时, xsin ax ax≥ a(1+x2) 4an(1+x2) 161 n7 由 Cauchy收敛准则,「"2在 a∈(0,+∞) 上不一致收敛。 (2)作变量代换x=1,则 取品=x>0,V4>0,取4=2+4>4,=27+4, a=a.=2-1,则当n充分大时, td= 2nt+ (2-am sin tdt 丌=E, 2n丌+ 由 Cauchy收敛准则,∫)sm在a∈(02)上不一致收敛。 3.设f(在r>0上连续,反常积分1m当=a与=b时都收敛, 证明「1(M关于在b上一致收敛 证将反常积分∫。/写成 t'f(o)dt= Cei-aIraf(]dt+[t-[cf(o]dt 对于,因为r°Oh收敛从而关于在[a上一致 收敛,t是t的单调函数,且4≤1,即t2在t∈[0上关于∈[ab] 致有界,由Abe判别法,可知12r(t关于A在tb上一致收 敛 对于「1(,因为∫(M收敛从而关于在ab上 致收敛,b是r的单调函数,且251,即宀→在1∈+∞)上关于（1）∫ +∞ 0 + 2 (1 ) sin dx x x x α α ，0 <α < +∞； （2）∫ 1 0 1 sin 1 dx x x α ，0 <α < 2。 解（1）取 0 2 0 18 ε = > ，∀A0 > 0，取 4 3 , 4 0 π nπ A A n A′ = > ′′ = ， 1 n n α α= = ， 则当n充分大时， = + ∫ ′′ ′ A A dx x x x (1 ) sin 2 α α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + ∫ 2 2 2 4 3 4 2 ) 4 3 16 1 ( 2 (1 ) sin π π α α π π n n dx x x x n n n n 0 2 18 > = ε ， 由 Cauchy 收敛准则，∫ +∞ 0 + 2 (1 ) sin dx x x x α α 在α ∈ (0,+∞)上不一致收敛。 （2）作变量代换 t x 1 = ，则 ∫ ∫ +∞ − = 1 2 1 0 sin 1 1 sin 1 tdt t dx x x α α 。 取 0 2 0 8 ε = > π ，∀A0 > 0，取 4 3 , 2 4 2 0 π π π A′ = nπ + > A A′′ = n + ， 1 2 n n α α= = − ，则当n充分大时， = ∫ ′′ ′ − A A tdt t sin 1 2 α n n n n tdt t n 1 4 3 2 4 2 2 4 3 4 2 2 sin 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ ≥ + + − π π π π π π π α 0 2 8 > π = ε ， 由 Cauchy 收敛准则，∫ 1 0 1 sin 1 dx x x α 在α ∈ (0, 2)上不一致收敛。 3．设 f (t)在t > 0上连续，反常积分∫ 当 +∞ 0 t f (t)dt λ λ = a与λ = b 时都收敛， 证明∫ 关于 +∞ 0 t f (t)dt λ λ 在[a,b]上一致收敛。 证 将反常积分∫ 写成 +∞ 0 t f (t)dt λ ∫ +∞ = 0 t f (t)dt λ ∫ + 1 − 0 t [t f (t)]dt λ a a ∫ +∞ − 1 t [t f (t)]dt λ b b 。 对于∫ − ，因为 收敛从而关于 1 0 t [t f (t)]dt λ a a ∫ 1 0 t f (t)dt a λ 在 上一致 收敛， 是t的单调函数，且 [a,b] a t λ− ≤ 1 −a t λ ，即t λ−a 在t ∈[0,1]上关于λ ∈[ , a b] 一致有界，由 Abel 判别法，可知∫ − 关于 1 0 t [t f (t)]dt λ a a λ 在 上一致收 敛。 [a,b] 对于∫ ，因为 收敛从而关于 +∞ − 1 t [t f (t)]dt λ b b ∫ +∞ 1 t f (t)dt b λ 在 上一 致收敛， 是 的单调函数，且 [a,b] b t λ− t ≤ 1 −b t λ ，即 b t λ − 在 t ∈[1,+∞) 上关于 2