第一学期第十九次课 414线性空间的基变换,基的过渡矩阵 设VK是n维线性空间,设E1,E2…,En和7,n2…7n是两组基,且 n1=l1E1+l21E2 72=12E1+2E2 nn=lnE1+l2nE2+……+lmE 将其写成矩阵形式 71,n2…,7 E2,…,En 定义411我们称矩阵 T 为从E1,E2,…,En到n22,…,n的过渡矩阵 命题46设在n维线性空间VK中给定一组基E1E2,…,En。T是K上一个n阶方阵。命 (n,2…n)=(E1,E2,…En) 则有n1,n2…,7n是V/K的一组基,当且仅当T可逆。 若n,n2…,nn是线性空间K的一组基,则n,2…线性无关。 考察同构映射 aa仕 24下的华(标字打不上去,我不知道为什么) 构造方程 kσ(n)+k2O(72)+…+ko(7n)=0,其中k∈K,(=1,2,…,n), →(k7+k2n2+…+kn7n)=0 →k7+kn2+…+knn=0,第一学期第十九次课 4.1.4 线性空间的基变换，基的过渡矩阵 设 V/K 是 n 维线性空间，设 1 2 , , , n    和 1 2 , , ,   n 是两组基，且 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n n n n nn n t t t t t t t t t              = + + +   = + + +     = + + + 将其写成矩阵形式 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn t t t t t t t t t             =       ， 定义 4.11 我们称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn t t t t t t T t t t       =       为从 1 2 , , , n    到 1 2 , , ,   n 的过渡矩阵。 命题 4.6 设在 n 维线性空间 V/K 中给定一组基 1 2 , , , n    。T 是 K 上一个 n 阶方阵。命 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) .       n n = T 则有 1 2 , , ,   n 是 V/K 的一组基，当且仅当 T 可逆。 证明： 若 1 2 , , ,   n 是线性空间 V/K 的一组基，则 1 2 , , ,   n 线性无关。 考察同构映射 1 2 : , , , n n  V K      → 在 下的坐 （标字打不上去，我不知道为什么） 构造方程 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n k k k       + + + = ，其中 ,( 1,2, , ) i k K i n  = ， 1 1 2 2 ( ) 0 n n  + + + =     k k k ， 1 1 2 2 0 n n  + + + = k k k   