定理4.limk心A=O的充分必要条件是p(A)<1. 证明.若imoA=O,设入为A的一个特征值，对应的一个特征向量 为x≠0，则Ax=x→0，因此→0，入<1，从而p(4)<1. 若p(A)<1,则取e<1-p(A),由引理4存在矩阵范数‖·‖使得 川4<p(A)+e<1.因此川4‖≤‖Ak→0，因此A在I·‖下收敛于 0.由引理5，A在川·l下收敛于O,因此A→0. ◇ [注：Page12定义0.13下，“当A为正交阵时，Cond(A)=1”有误，反 例可取‖·lr。 ppt ch5page33推论： 定理5.若存在相容的矩阵范数使得lA<1,则1imk∞Ak=O. 证明.（与定理4p(A)<1时的证明相同。） A‖≤A→0，因此A在川·‖下收敛于O.由引理5，A在‖· 下收敛于O,因此Ak→O. 6 定理 4. limk→∞ Ak = O 的充分必要条件是 ρ(A) < 1. 证明. 若 limk→∞ Ak = O，设 λ 为 A 的一个特征值，对应的一个特征向量 为 x ̸= 0，则 Akx = λ kx → 0，因此 λ k → 0，λ < 1，从而 ρ(A) < 1. 若 ρ(A) < 1，则取 ϵ < 1 − ρ(A)，由引理 4 存在矩阵范数 || • || 使得 ||A|| < ρ(A) + ϵ < 1. 因此 ||Ak || ≤ ||A||k → 0，因此 Ak 在 || • || 下收敛于 O. 由引理 5，Ak 在 || • ||1 下收敛于 O，因此 Ak → O. [注]：Page 12 定义 0.13 下，“当 A 为正交阵时，Cond(A) = 1”有误，反 例可取 || • ||F。 ppt ch5 page33 推论： 定理 5. 若存在相容的矩阵范数使得 ||A|| < 1，则 limk→∞ Ak = O. 证明.（与定理 4 ρ(A) < 1 时的证明相同。） ||Ak || ≤ ||A||k → 0，因此 Ak 在 || • || 下收敛于 O. 由引理 5，Ak 在 || • ||1 下收敛于 O，因此 Ak → O. 6