第6期 张晓丹等：基于样条函数的光滑支持向量机模型 ·723· 学+与+宁+品)广-设=8 1312 冬，即1x<时，有 x2,作变量代换a=kx,a∈(0,1)，则有 P,2-2≤（笑）+2= )+e2=06927 (13) a∈(0,1). 当光滑函数取式(10)时，有 采用二分法或不动点迭代法，可以求出u'(a) 的零点a=0.157762,且u"(ao)<0,即u(a)在a∈ ,-￡≤证0 (14) (0,1)上极大值点为a=0.157762,从而有u(x)≤ 当光滑函数取式(11)时，有 u0.157762)<0,故此时结论成立.综上，结论 5,-2≤00g3 (15) (3)成立 当光滑函数取式(12)时，有 定理5设x∈R,S(x,)由式(12)定义，x,是 正号函数，则： S,2-元≤38g00724 (16) (1)S3(x,k)在x∈R上满足定义1的四阶光 可见，样条函数与Sigmoid积分函数相比，在相 滑条件： 同的k下对正号函数的逼近精度提高了一个数量 (2)S3(x,k)≥x+: 级，且随着光滑阶数的增加，样条函数对正号函数的 (3)对任意的x∈R,k>1,S(x,k)2-x2≤ 逼近程度不断提高. 1 从表1可以看出，在具有相同光滑阶数的情况 58k2 下，样条函数比多项式函数的次数低1次，但是逼近 证明过程同定理4. 精度比相应的多项式函数要高.因此，在可比条件 当光滑函数取式(6)时，由文献6]可知，取p= 下，样条函数比多项式函数略有优势 表1光滑函数及其通近精度比较 Table 1 Comparison of smooth functions and approximation accuracy 光滑函数 逼近精度 光滑阶数 函数次数 +g1+e) 0.6927 2 任意 1 0.0909 1 2 :6+(-) 0.0526 2 2 2+6证 0.04167 2 k 11 ++6 2 -5+152+16+5) 0.03578 1 3 0.03333 3 6—x635k35k2+。一x+256k 35 0.02763 12864 2 6 3 4 2 4 4 0.01724 35 3 53 4 3 1 3 2 子++2 差距. 3性质分析 定理6设A∈Rxm,b∈Rmx1,实函数h(x): R”→R,g(x,):R"×N→R定义如下： 3.1模型的收敛性分析 本节讨论光滑模型与原来模型最优解之间的 h()=(+).(17)第 6 期 张晓丹等: 基于样条函数的光滑支持向量机模型 k 3 4 x 4 + k 2 x 2 + 1 2 x + 3 20 ) k 2 － x 2 ，设 u( x) = S2 ( x，k) 2 － x 2 + ，作变量代换 a = kx，a∈( 0，1) ，则有 u( a) = 1 k 2 [ ( a5 10 － a4 4 + a2 2 + a 2 + 3 ) 20 2 － a ] 2 ， a∈( 0，1) ． 采用二分法或不动点迭代法，可以求出 u'( a) 的零点 a0 = 0. 157 762，且 u″( a0 ) ＜ 0，即 u( a) 在 a∈ ( 0，1) 上极大值点为 a0 = 0. 157 762，从而有 u( x) ≤ u( 0. 157 762) ＜ 1 30k 2，故此时结论成立． 综上，结论 ( 3) 成立． 定理 5 设 x∈R，S3 ( x，k) 由式( 12) 定义，x + 是 正号函数，则: ( 1) S3 ( x，k) 在 x∈R 上满足定义 1 的四阶光 滑条件; ( 2) S3 ( x，k) ≥x + ; ( 3) 对任意的 x∈R，k ＞ 1，S3 ( x，k) 2 － x 2 + ≤ 1 58k 2 ． 证明过程同定理 4． 当光滑函数取式( 6) 时，由文献［6］可知，取ρ = 1 k ，即| x | ＜ 1 k 时，有 P( x，k) 2 － x 2 + ≤ ( lg2 ) k 2 + 2ρ k ( lg2 = lg2 ) k 2 + 2 k 2 lg2≈0. 692 7 1 k 2 ． ( 13) 当光滑函数取式( 10) 时，有 S1 ( x，k) 2 － x 2 + ≤ 1 24k 2≈0. 041 67 k 2 ． ( 14) 当光滑函数取式( 11) 时，有 S2 ( x，k) 2 － x 2 + ≤ 1 30k 2≈0. 033 33 k 2 ． ( 15) 当光滑函数取式( 12) 时，有 S3 ( x，k) 2 － x 2 + ≤ 1 58k 2≈0. 017 24 k 2 ． ( 16) 可见，样条函数与 Sigmoid 积分函数相比，在相 同的 k 下对正号函数的逼近精度提高了一个数量 级，且随着光滑阶数的增加，样条函数对正号函数的 逼近程度不断提高． 从表 1 可以看出，在具有相同光滑阶数的情况 下，样条函数比多项式函数的次数低 1 次，但是逼近 精度比相应的多项式函数要高． 因此，在可比条件 下，样条函数比多项式函数略有优势． 表 1 光滑函数及其逼近精度比较 Table 1 Comparison of smooth functions and approximation accuracy 光滑函数 逼近精度 光滑阶数 函数次数 x + 1 k lg( 1 + e － kx ) 0. 692 7 k2 任意 — k 4 x2 + 1 2 x + 1 4k 0. 090 9 k2 1 2 － 1 16 ( kx + 1) 3 ( kx － 3) 0. 052 6 k2 2 4 k2 6 x3 + k 2 x2 + 1 2 x + 1 6k － k2 6 x3 + k 2 x2 + 1 2 x + 1 6 { k 0. 041 67 k2 2 3 1 32k ( k6 x6 － 5k4 x4 + 15k2 x2 + 16kx + 5) 0. 035 78 k2 3 6 － k4 10 x5 － k3 4 x4 + k 2 x2 + 1 2 x + 3 20k k4 10 x5 － k3 4 x4 + k 2 x2 + 1 2 x + 3 20 { k 0. 033 33 k2 3 5 － 5k7 256 x8 + 7k5 64 x6 － 35k3 128 + 35k 64 x2 + 1 2 x + 35 256k 0. 027 63 k2 4 8 － k6 7 x7 － 3k5 4 x6 － 3k4 2 x5 － 5k3 4 x4 + 3 4 kx2 + 1 2 x + 3 28k k6 7 x7 － 3k5 4 x6 + 3k4 2 x5 － 5k3 4 x4 + 3 4 kx2 + 1 2 x + 3 28 { k 0. 017 24 k2 4 7 3 性质分析 3. 1 模型的收敛性分析 本节讨论光滑模型与原来模型最优解之间的 差距． 定理 6 设 A∈Rm × n ，b∈Rm × 1 ，实函数 h( x) ∶ Rn →R，g( x，k) ∶ Rn × N→R 定义如下: h( x) = 1 2 ‖( Ax + b) + ‖2 2 + 1 2 ‖x‖2 2，( 17) ·723·