第二章解析函数 21导数、微商与微分 导数设u=f(2)是区域G内的单值函数,如果在G内的某点z z 存在,则称函数f(2)在z点可导 此极限值,记为f(2),即称为f(2)在z点的导数 如果函数u=f(2)在z点的改变量△a=f(x+△2)-f(2)可以写成 其中 p(4z) 0. 0△z 则称m=f(2)在z点可微,△的线性部分A(2)4z称为函数u在z点的微分,记作 dw= A(z)d 其中约定dz=△z 容易证明,如果函数u=f(x2)在z点可导,则一定在该点可微,反之亦然.并且A(2)=f(x) 因此导数也称作微商 所谓lim(△/△z)存在,就意味着△2以任意方式趋于0时,△m/4z都趋于同样的有限值 反过来说,如果当Δz以不同方式趋于0,Δm/△z趋于不同的值的话,则im(△n/4z)是不存 在的 特别是,考虑Δz→0的两种特殊方式,就可以得到函数可导的必要条件 △x=0,A r(a)=m2=0=△y=-ib 此￾✁✂ ✄☎✆✝ ✞ 1 ✟ ✠✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ §2.1 ✏✑✒✓✔✕✓✖ ✗✘ ✙ w = f(z) ✚✛✜ G ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫ G ✢✣✬✭ z ★ lim ∆z→0 ∆w ∆z = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z ✮ ✫★✯✰✦✧ f(z) ✫ z ✭✱✲✳ ✴✵✶✥★✷✸ f 0 (z) ★✹✰✸ f(z) ✫ z ✭✣✲✧✳ ✩✪✦✧ w = f(z) ✫ z ✭✣✺✻✼ ∆w = f(z + ∆z) − f(z) ✱✽✾✿ ∆w = A(z)∆z + ρ(∆z), ❀ ❁ lim ∆z→0 ρ(∆z) ∆z = 0, ✯✰ w = f(z) ✫ z ✭ ❂❃ ★ ∆w ✣❄❅❆❇ A(z)∆z ✰✸✦✧ w ✫ z ✭✣ ❃❈ ★✷❉ dw = A(z)dz, ❀ ❁❊❋ dz = ∆z ✳ ●❍■ ❏★✩✪✦✧ w = f(z) ✫ z ✭✱✲★✯❑❋ ✫▲✭✱▼★◆❖P◗✳ ❘❙ A(z) = f 0 (z) ★ ✹ dw = f 0 (z) dz ❚ dw dz = f 0 (z). ❯✴ ✲✧❱✰❉ ❃❲ ✳ ❳❨ lim ∆z→0 (∆w/∆z) ❩❬★❭❪❫❴ ∆z ❵❛❪❜❝❞❡ 0 ❢★∆w/∆z ❣❞❡ ❤✐❥❦❧♠✳ ♥♦♣q★rs t ∆z ❵✉ ❤❜❝❞❡ 0 ★ ∆w/∆z ❞❡✉ ❤❥♠❥✈★✇ lim ∆z→0 (∆w/∆z) ①✉❩ ❬ ❥ ✳ ②③✚★④⑤ ∆z → 0 ✣⑥⑦②⑧⑨⑩★❶✱✽❷❸ ❹ ✘ ❂ ✗❺❻❼❽❾ ✳ • ∆x → 0 ★ ∆y = 0 ★ f 0 (z) = lim ∆z→0 ∆w ∆z = lim ∆x→0 ∆u + i∆v ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x; • ∆x = 0 ★ ∆y → 0 ★ f 0 (z) = lim ∆z→0 ∆w ∆z = lim ∆y→0 ∆u + i∆v i∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y . ❯✴ ∂u ∂x = ∂v ∂y , ∂u ∂y = − ∂v ∂x