(1)1-2,在z=1展开; (2)sinz,在z=n丌展开 在z=0展开; 在z=0展开; 在z=0展开(可只求前四项) 2.将下列函数在指定点展开为 Taylor级数,并给出其收敛半径: (1)lnz,在z=i展开,规定0≤argz< (2)lmz,在2=i展开,规定nzl==-立 (3) arctan 2的主值,在z=0展开 展开,规定 (2k+1)丌 3.求下列无穷级数之和: (1) 1,|z|<1; (2) 2|< 4.求下列函数的 Laurent展开: 在z=1附近晨开 (z-1) z2(z-1) 展开区域为1<|2<∞ 展开区域为1<|2<2;(4) 晨开区域为2<|2< (2-1(2-2,展开区域为3<<4( (2-1)(2-2,展开区域为4<||<∞ (z-3)(z-4) 5.用级数相乘的方法求下列函数(取主值分枝)在z=0点附近的级数展开 6.判断下列函数奇点的性质,如果是极点,确定其阶数: (1)22,a≠0 (2) DS a2 (5)cos 1 sinh (a-1)lnz (8) 7.判断下列函数在∞点的性质 (8)√(z-1)(z-2)Wu Chong-shi ❱ ❲ 7 (1) 1 − z 2 , ❃ z = 1 ÔÕ➡ (2) sin z, ❃ z = nπ ÔÕ➡ (3) 1 1 + z + z 2 , ❃ z = 0 ÔÕ➡ (4) sin z 1 − z , ❃ z = 0 ÔÕ➡ (5) exp  1 1 − z  , ❃ z = 0 ÔÕ (❅Ö✱×ØÙ) P 2. Ó✌✍✣✏❃✉✈✴ÔÕ✛ Taylor ➩✏✷❇➎☞❈➫➭➝➐✚ (1) ln z, ❃ z = i ÔÕ✷③✈ 0 ≤ arg z < 2π; (2) ln z, ❃ z = i ÔÕ✷③✈ ln z   z=i = − 3 2 π; (3) arctan z ✑Ú❭✷❃ z = 0 ÔÕ➡ (4) ln 1 + z 1 − z , ❃ z = ∞ ÔÕ✷③✈ ln 1 + z 1 − z    z=∞ = (2k + 1)π P 3. ✱✌✍ÛÜ➩✏➚✗✚ (1) X∞ n=0 1 2n + 1 z 2n+1 , |z| < 1; (2) X∞ n=0 1 (2n)! z 2n , |z| < ∞. 4. ✱✌✍✣✏✑ Laurent ÔÕ✚ (1) 1 z 2(z − 1), ❃ z = 1 ÝÞÔÕ; (2) 1 z 2(z − 1), ÔÕ➃➄✛ 1 < |z| < ∞; (3) 1 z 2 − 3z + 2 , ÔÕ➃➄✛ 1 < |z| < 2; (4) 1 z 2 − 3z + 2 , ÔÕ➃➄✛ 2 < |z| < ∞; (5) (z − 1)(z − 2) (z − 3)(z − 4), ÔÕ➃➄✛ 3<|z|<4; (6) (z − 1)(z − 2) (z − 3)(z − 4), ÔÕ➃➄✛ 4<|z|<∞. 5. ✧➩✏ßà✑▲á✱✌✍✣✏ (②Ú❭◆❵) ❃ z = 0 ✴ÝÞ✑➩✏ÔÕ✚ (1) − ln(1 − z) ln(1 + z); (2) ln(1 + z 2 ) arctan z. 6. ❁❂✌✍✣✏â✴✑➯ã✷✸✹✜✵✴✷➸✈❈ä✏✚ (1) 1 z 2 + a 2 , a 6= 0; (2) cos az z 2 ; (3) cos az − cos bz z 2 , a 6= b; (4) sin z z 2 − 1 z ; (5) cos 1 √ z ; (6) √ z sin √ z ; (7) 1 (z − 1) ln z ; (8) Z z 0 sinh √ ζ √ ζ dζ. 7. ❁❂✌✍✣✏❃ ∞ ✴✑➯ã✚ (1) z 2 ; (2) 1 z ; (3) cos z z ; (4) z cos z ; (5) z 2 + 1 e z ; (6) exp  − 1 z 2  ; (7) 1 cosh √ z ; (8) p (z − 1)(z − 2)