◆766 北京科技大学学报 2005年第6期 其中，m=J()d,m,可利用下面的公式计算： W:MW的第一行与第一列后得到的矩阵记为 mo=I ,证是N)阶方阵，去掉W9的第一个元素（零 12分 m=-12 im(Zhn) 元)后得到的向量记为，它有()个元素.因此， 引理3式(16)满足下面的三条性质：(1)主对 求解方程(13)化为求解方程： 角元素均为零，即=0；(2)反对称，即k= M.x=q (20) -m1:(3)m=Mu1. 这样得到的不仅是稀疏矩阵，而且由于维 证明：性质(1)和性质(2)容易证明，略.仅证 数的降低，使得计算量大大减少，并且节省了存 明性质(3). 储空间. m=rcot[e-lan(（0drdl =wk-eott-pt-2岁trdl 6正则化方法 令xx一，-代入上式容易验证mFmn: 由于式(20)的解是不适定的，利用普通算法 于是M是W()+1阶循环反对称方阵，只需要计算 求解不能保证近似解的数值稳定性，但是可以利 用Tikhonov正则化的方法来求解.这里采用离散 N()个元素即可. 引入Fourier逼近算子F,如下a: 正则化方法来求解.在进行正则化之前先对矩阵 F.)(dicos(2ix)+bsin(2x) 进行闽值以减少计算量.但是一般来说只能 (17) 得到M和互的近似M和氵.假定这种扰动很小， F.0Ax)=+(ccos(2rir)+dsin(2ix) 1 即-M≤，l-≤6(6>0. 其中， 为了叙述的方便，只考虑右端项q有扰动的 [=2)cos(2xix)dr,B=)sin(2nizx)dx 情况，并设顺一≤δ，为此首先构造稳定泛函x)= d=2前，x)cos(2ri)dk,d=2 Ax)sin(2πx)d M:-+a.求(x)的极小值问题等价于求解 (18) Euler方程： 将式(17)代入式(15)，又由于： [(M)'+alx=(M)'g (21) sin(2njx)cotln(x-t)]dx=cos(2jt) 它正是方程(20)的正则化形式.于是，剩下 cos(eotGd-sim(1. 的问题就是如何选取a>0使得顺-≤δ时，正则参 0 数a能与误差水平8相匹配. 就有 合适的正则参数a=a(g,)可依据已知或未 成2心-所 (19) 知的情况，采用偏差原理或误差极小化的原理来 对于给定的紧支集尺度函数(x)可以利用： 确定，这些原则可用Newton法或高阶收敛算法 a刻-方i2o以o)=方8ae 从数值上加以实现团，从而。=x(q,)就是方程 √2π1 (20)的稳定解 求出其Fourier变换，再利用式(6)和(T)即可求出 px)和p(x)的Fourier系数，不妨记M-(m). 7算法及其收敛性 5降维 综上所述，关于求解式(I)的小波Galerkin算 法的大致过程如下： 考虑归一化条件式(3)，由{UU{g是 055 Step1用式(18)计算d,b,c和d,i=1,2,",n,用 的一组标准正交基可知： 式(16)和(19)计算9和mw1=0,1,…,NJ),从而得到 fr)=CooPao+∑4u9h, 矩阵M据和向量q; 由于 v(x)dr-0, Step2由式(6)计算出W,得到方程(13： 故 Coo=C. Step3降维及阈值得到方程(20； 由于cot[π(x一]和周期小波的特点，矩阵 Step4求解正则化方程(21)，解得x,k=1,2,, WM中的第一行与第一列的元素都为零， N). 并且W'的第一项也为零，因而约束条件(2)失 定理设gk由式(9)决定，m,mw分别为M, 效，由归一化条件式(3)可得x=C.把去掉矩阵 M,的元素，f由式(10)决定.在此小波Galerkin算北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 其 中 ， ， 一 又 ，试 ， ， 可 利 用 下 面 的公 式计 算 ‘ 。 ，一 击乎属呷洲 引 理 式 满足 下 面 的三 条性质 主 对 角元 素 均 为零 ， 即毗 二 反对 称 ， 即城川二 一 磁 城 ，二 林 ，二 证 明 性 质 和 性质 容 易证 明 ， 略 仅 证 明性 质 林， ，一 刃礼 眯 一 ， 卜 产， ，、 ， 无斗 、 。 ， 、 ， 、 ， 、 一 。 ‘ 。 ’ 必 。 一学 ‘ “ 一 。 ‘一 学 山 ‘ 令 一 奋 ， 、 卜奋代 入 上 式 容 易验 证 、 二、 ， 于 是解是刀切十 阶循环 反对 称 方 阵 ， 只 需要 计 算 刃口 个 元 素 即可 引入 。 丽 逼 近 算 子凡 如 下〔 磷辛麟 叫 、 的第一行 与 第 一 列 后得 到 的矩 阵记 为 风 ， 属是刃切 阶方 阵 ， 去 掉 叽 汀的第 一个 元 素 零 元 后 得 到 的 向量 记 为 ， 它 有刃 刀个 元 素 因此 ， 求 解 方程 化 为求 解 方 程 属无 奋 这 样 得 到 的属不仅 是稀疏 矩 阵 ， 而 且 由于 维 数 的 降低 ， 使 得 计算 量大 大 减 少 ， 并且 节 省 了存 储 空 间 于州 一 扮 ‘“ 宁 “ “ ，‘宁 “ “ ，， 户 。 必成不夕“ 万昭毛十乙 又粼 兀川十诺 兀 沼‘ 月‘ 川 工 ’再 词 ， 。卜 工 ’热 二动、 认 耐 ， 叨一 刃 二动 其劳岭中 将 式 代入 式 ， 又 由于 工 ’ ‘ 协，· 〔你 一 ” 〕“ 一 ‘ 动 一 ， ， 矛 ， 、 。 ， 、 ， ， ， 、 ， 一 ，’ 厂 ， 堪 气‘ 哪 ， ‘ 兀嶙 一 ‘，」 一 ， 气乙刃 就 有 式 二 奇‘ 艺 卜 公一 讨居 二 毗 对 于 给 定 的紧支集 尺度 函数势 可 以利 用 一 六卿 ，一， ，一 缸 一 ‘ · 求 出其 而 变 换 ， 再 利用 式 和 即可 求 出 乒以琳和 葵 去式习的 而 系 数 ， 不 妨 记麟 一 武 降维 考 虑 归 一 化 条件 式 ， 由 弱 一 淞提 黔的一组 标准正 交基 可知 月习 ， ，计艺 沃 心再 由于 刀彻 氏 故 ， 。 由 于 〔 二 一 和 周 期 小 波 的 特 点 ， 矩 阵 磷 ， 衅 叫 中 的第 一 行 与 第 一 列 的元 素 都 为 零 ， 并 且 琳碑 ‘的第 一项 也 为零 ， 因而 约 束条 件 失 效 ， 由归一 化 条件 式 可 得 把 去掉 矩 阵 正 则 化 方 法 由于 式 的解 是 不 适 定 的 ， 利 用 普 通 算法 求 解 不 能保 证近似解 的数值稳 定性 ， 但 是 可 以利 用 廿 正 则 化 的方法来 求 解 这里 采用 离散 正 则化 方 法来求解 在进 行正 则 化之 前先对矩 阵 属进 行 闽值 以减 少 计 算 量 但 是 一般来 说 只 能 得到属和奋的近 似属和汤 假 定 这 种 扰 动 很 小 ， 即 网 一属 二。 ， 奋一蚕二咨 为 了叙 述 的方 便 ， 只考 虑 右 端 项叮有 扰 动 的 情 况 ， 并 设 奋一旬二。 ， 为此 首先 构造 稳定泛 函 丽坏一 十 冈 ， 求入工 的极 小值 问题 等价 于求解 方程 【斌 属 心味 属 万 它 正 是 方 程 的正 则 化 形 式 于 是 ， 剩 下 的 问题就 是 如何 选 取 使得 阿一 二 占时 ， 正 则参 数 能与 误 差 水 平咨相 匹 配 合 适 的正 则参 数’ 一 ’ ，司可 依据。 已 知 或 未 知 的情 况 ， 采用偏差 原理或 误 差 极 小化 的原理 来 确 定 这 些 原 则 可 用 法 或 高 阶 收敛 算法 从 数 值 上 加 以 实现 ‘ 从 而元 风 · ，司 就 是 方程 的稳 定解 算法 及 其 收敛性 综 上所 述 ， 关 于 求 解 式 的小波 算 法 的大 致 过 程 如 下 用 式 计 算硫 九 和 试 二 ， ，… ， ， 用 式 和 计 算 和 、 ，， 二 ， ，… 户义刀 ， 从 而 得 到 矩 阵属和 向量不 由式 计 算 出 磷， 得 到 方程 降维及 闽值 得 到 方 程 求解 正 则化 方 程 ， 解 得 ， 二 ， ，… ， 州刀 定理 设 ，由式 决 定 ， 稀沁 ， 沁 分 别 为氮 ， 城的元 素 ， 关 由式 决 定 在 此 小 波 算