(3)若A是非零矩阵且A4=0,则A必不能对角化; (4)若实矩阵A适合A2+A+Ln=0,则A在实数域上不可对角化 证明(1)因为A2=Ln,即(I+A)(I-A)=0,所以r(I+A)+r(I-A)≤n 另一方面,r(I-A)+r(I+4)≥r(21)=m.因此r(I+A)+7(-A)=n.注意 到dmV1=m-r(I-A,dimV-1=n-r(I+A),故dmV+dmV1=n.所以 A可对角化 (2)同(1)类似讨论 (3)因为A=0,所以若AX=AX,X≠0,则入=0.若A可对角化,则A 相似与0,从而r(4)=0,与题设A≠0矛盾 (4)因A适合A2+A+In=0,若X≠0,AX=AX,则2+A+1=0,而 A2++1=0无实根,故A无实根,从而在实数域上不可对角化.口 作业P2414,5,9,10(2-4),11,12;P2497,8 思考题P417,8 选做题P25117,18 挑战题P2915(3) u A +XJ>m Ak = 0, : A  g#E9 (4) u{J> A ￾7 A2 + A + In = 0, : A 9{6w M#E9
fW (1) / A2 = In, < (I + A)(I − A) = 0, * r(I + A) + r(I − A) ≤ n. Y(*a￾ r(I − A) + r(I + A) ≥ r(2I) = n. / r(I + A) + r(I − A) = n. K,  dimV1 = n − r(I − A), dimV−1 = n − r(I + A), 2 dimV1 + dimV−1 = n. * A M#E9
(2)  (1) P\
(3) / A k = 0, *u AX = λX, X 6= 0, : λ = 0. u A M#E9￾: A 5 0, & r(A) = 0, 5 y A 6= 0 ℄$
(4) / A ￾7 A2 + A + In = 0, u X 6= 0,AX = λX, : λ 2 + λ + 1 = 0, & λ 2 + λ + 1 = 0 {1￾2 A {1￾&9{6w M#E9
2 ib P241 4, 5, 9, 10(2-4), 11, 12; P249 7, 8. [S\ P241 7, 8. _h\ P251 17, 18. ℄e\ P229 15. 6