对策论( Theory of games) 对策论也称博弈论,是运筹学的一个重要分支。1928年冯·诺意曼(J. von Neumann)等人由 于经济问题的启发,研究了一类具有某种特性的博弈问题,这是对策论的最早期的工作。在我国古 代的战国时期,“齐王与田忌赛马”就是一个非常典型的对策论的例子。对策论所研究的主要对象 是带有斗争性质(或至少含有斗争成分)的现象。由于对策论研究的对象与政治、军事、工业、农 业、交通、运输等领域有密切关系,处理问题的方法又有着明显的特色,所以越来越受到人们的注 意 日常生活中,经常看到一些具有相互之间斗争或竞争性质的行为,例如下棋、打牌、体育比赛 等,还如战争活动中的双方,都力图选取对自己最为有利的策略,千方百计去战胜对手,在政治方 面,国际间的谈判,各种政治力量之间的斗争。各国际集团之间的斗争等无一不具有斗争的性质 经济生活中,各国之间、各公司之间的各种经济谈判,企业为争夺市场而进行的竞争等,举不胜举 具有竞争或对抗性质的行为,称为对策行为。在这类行为中,参加斗争或竞争的各方各自具有 不同的目标和利益,为了达到各自的目标和利益各方必须考虑对手的各种可能的行动方案,并力图 选取对自己最为有利或最为合理的方案,对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的 行动方案,以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法 在我国古代,“齐王赛马”就是一个典型的对策论研究的例子。 战国时期,齐王有一天提出要与大将田忌赛马。双方约定:从各自的上中下三个等级的马中选 一匹参赛。每匹马均只能参赛一次:每次比赛双方各出一匹马,负者要付给胜者千金。已经知道 在同等级的马中,田忌的马不如齐王的马,而如果田忌的马比齐王的马高一等级,则田忌的马可取 胜。当时,田忌手下的一个谋士给田忌出了个主意:每次比赛时先让齐王牵出他要参赛的马,然后 用下马对齐王的上马,用中马对齐王的下马,用上马对齐王的中马。比赛结果,田忌,二胜一负 可得千金,由此看来,两人各采取什么样的出马次序,对胜负是至关重要的。 还如日常生活中,儿童或喝酒中不会猜拳的用“石头一剪子一布”游戏也是带有竞争性质的现 象,大家都知道游戏的规定:第一,每人每局比赛中,只能在石头、剪子、布三种出法中选一种: 第二,在一局比赛中,石头对剪子认为石头赢,剪子对布认为剪子赢,布对石头认为布方赢,如果 双方都是同一种,则认为没有输赢。这样一局比赛中,各方是赢是输,不仅与自己所采取的发法(亦 称策略)有关,而且与对方所采取的出法有关,下面介绍对策论中的矩阵对策 §1对策问题的三个基本要求 以下称具有对策行为的模型为对策模型或对策。对策模型的种类可以千差万别,但本质上都必 须包括如下三个基本要素 (1)局中人 在一个对策行为(或一局对策)中,有权决定自己行动方案的对策参加者称为局中人,通常用 I表示局中人的集合,如果有n个局中人,则I={1.2…m},一般要求一个对策中至少要有二个局 中人,如在“齐王赛马”例子中,局中人是齐王与田忌 当然,对策中关于局中人的概念是具有广义性的,局中人除了可以理解为个人外,还可以理解 为某一集体1 对策论(Theory of Games) 第 1、2 讲 对策论也称博弈论，是运筹学的一个重要分支。1928 年冯·诺意曼（J.von Neumann）等人由 于经济问题的启发，研究了一类具有某种特性的博弈问题，这是对策论的最早期的工作。在我国古 代的战国时期，“齐王与田忌赛马”就是一个非常典型的对策论的例子。对策论所研究的主要对象 是带有斗争性质（或至少含有斗争成分）的现象。由于对策论研究的对象与政治、军事、工业、农 业、交通、运输等领域有密切关系，处理问题的方法又有着明显的特色，所以越来越受到人们的注 意。 日常生活中，经常看到一些具有相互之间斗争或竞争性质的行为，例如下棋、打牌、体育比赛 等，还如战争活动中的双方，都力图选取对自己最为有利的策略，千方百计去战胜对手，在政治方 面，国际间的谈判，各种政治力量之间的斗争。各国际集团之间的斗争等无一不具有斗争的性质。 经济生活中，各国之间、各公司之间的各种经济谈判，企业为争夺市场而进行的竞争等，举不胜举。 具有竞争或对抗性质的行为，称为对策行为。在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有 不同的目标和利益，为了达到各自的目标和利益各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图 选取对自己最为有利或最为合理的方案，对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的 行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。 在我国古代，“齐王赛马”就是一个典型的对策论研究的例子。 战国时期，齐王有一天提出要与大将田忌赛马。双方约定：从各自的上中下三个等级的马中选 一匹参赛。每匹马均只能参赛一次；每次比赛双方各出一匹马，负者要付给胜者千金。已经知道， 在同等级的马中，田忌的马不如齐王的马，而如果田忌的马比齐王的马高一等级，则田忌的马可取 胜。当时，田忌手下的一个谋士给田忌出了个主意：每次比赛时先让齐王牵出他要参赛的马，然后 用下马对齐王的上马，用中马对齐王的下马，用上马对齐王的中马。比赛结果，田忌，二胜一负， 可得千金，由此看来，两人各采取什么样的出马次序，对胜负是至关重要的。 还如日常生活中，儿童或喝酒中不会猜拳的用“石头—剪子—布”游戏也是带有竞争性质的现 象，大家都知道游戏的规定：第一，每人每局比赛中，只能在石头、剪子、布三种出法中选一种； 第二，在一局比赛中，石头对剪子认为石头赢，剪子对布认为剪子赢，布对石头认为布方赢，如果 双方都是同一种，则认为没有输赢。这样一局比赛中，各方是赢是输，不仅与自己所采取的发法（亦 称策略）有关，而且与对方所采取的出法有关，下面介绍对策论中的矩阵对策。 §1 对策问题的三个基本要求 以下称具有对策行为的模型为对策模型或对策。对策模型的种类可以千差万别，但本质上都必 须包括如下三个基本要素： (1)局中人 在一个对策行为（或一局对策）中，有权决定自己行动方案的对策参加者称为局中人，通常用 I 表示局中人的集合，如果有 n 个局中人，则 I={1.2……n}，一般要求一个对策中至少要有二个局 中人，如在“齐王赛马”例子中，局中人是齐王与田忌。 当然，对策中关于局中人的概念是具有广义性的，局中人除了可以理解为个人外，还可以理解 为某一集体