于是 f(x)dx+[I/"(x)dx 所以 补充: 1.设∫∈C[,1],且f(0)=0,0<∫(x)≤1。证明: (令F(x)=1f(02-0()) 2.设∫在[a+)上一致连续,并且「。f(x)x收敛,则 (1)lim f(x)=0 x→+0 (2)若将题目中的条件一致连续改为连续,并且加条件“∫非负”结论 如何 证假设limf(x)≠0,则 彐E0>0,使ⅵ△>0,丑x>Δ,有f(x)≥5。又∫在[a,+∞)上一致连续,故对 >0,36>0,当-x1≤6时,有(x)-/f(x)<5。 所以当x∈[x3,x4+δ]时,有 1x)=1(x3)-U(x)-fx)2/(x)-1(x)-(x)250-5= 并且f(x)与f(x)同号,否则f(x)-f(x)≥50 若(x)>0,则/()25,所以∫(xk2b=2。同理若f(x)<0 也有[f( d x- Eod 所以 对“0>0,V△>0,丑x1+6>x4>△,使得3 于是 ( ) ( ) () ( ) () x x f x f f t dt f f t dt ξ ξ =+ ≤ + ξ ξ ′ ′ ∫ ∫ 1 () () b b a a f x dx f x dx b a ≤ + ′ − ∫ ∫ 所以 1 max ( ) ( ) ( ) b b a a axb f x f x dx f x dx ≤ ≤ b a ≤ + ′ − ∫ ∫ 补充： 1．设 f C∈ [0,1]，且 f (0) 0 = ，0 () 1 < f x ′ ≤ 。证明： 3 1 1 2 0 0 [ ( ) ] [ ( )] f t dt f t dt ≥ ∫ ∫ （令 3 2 0 0 ( ) [ ( ) ] [ ( )] x x F x f t dt f t dt = − ∫ ∫ ） 2．设 f 在[, ) a +∞ 上一致连续，并且 ( ) a f x dx +∞ ∫ 收敛，则 (1) lim ( ) 0. x f x →+∞ = (2) 若将题目中的条件一致连续改为连续，并且加条件“ f 非负”结论 如何？ 证 假设 lim ( ) 0 x f x →+∞ ≠ ，则 0 ∃ > ε 0 ，使∀∆ > 0， x∃ >∆ ∆ ，有 0 f x( ) ε ∆ ≥ 。又 f 在[, ) a +∞ 上一致连续，故对 0 0 2 ε > ，∃ > δ 0 ，当 x x ′ ′′ − ≤ δ 时，有 0 () () 2 fx fx ε ′ ′′ − < 。 所以当 x xx [, ] δ ∈ + ∆ ∆ 时，有 0 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 2 2 fx fx fx fx fx fx fx ε ε ε = − − ≥ − − ≥− = ∆∆ ∆∆ 。 并且 f ( ) x 与 f ( ) x∆ 同号，否则 0 fx fx ( ) () ε ∆ − ≥ 。 若 f x()0 ∆ > ，则 0 ( ) 2 f x ε ≥ 。所以 0 0 ( ) 2 2 x x x x f x dx dx ∆ ∆ δ δ ε ε δ ∆ ∆ + + ≥ = ∫ ∫ 。同理若 f x()0 ∆ < ， 也有 0 0 ( ) 2 2 x x x x f x dx dx ∆ ∆ δ δ ε ε δ ∆ ∆ + + ≥ = ∫ ∫ 。 所以 对 0 0 2 ε δ > ，∀∆ > 0， x x δ ∃ + > >∆ ∆ ∆ ，使得 0 ( ) 2 x x f x dx ∆ δ ε δ ∆ + ≥ ∫