七章留数定理及其应 第9页 1+z4 取极限R→∞,因为 所以,根据引理3.1,有 于是就得到 在这个例子中,当然仍然可以采用半圓形的围道.这时被积函数1/(1+24)在围道内有 两个奇点:z=eπ/和z=e3/4.计算量当然要略微大一些.可以设想,如果要计算 定积分 禾用夹角为π/50的扇形围道,围道内只有一个奇点;而禾用半圓形围道,围道内则有 50个奇点,两者在计算量上的差异明显可见 如果说,在上面这些例子中,扇形围道和半形围道两者还都可供选择的话,那么,在 下面这个例子中,扇形围道就只能是唯一的选择 例77计算积分 解显然,这时应该考虑夹角为2π/3的扇形围道(图75) 图75 .1+=(++、+厂 (-)+x+ 1+23 取极限R→∞,因为 所以 B→∞Jc1￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 9 ☞ = 2π i res 1 1 + z 4     z=eiπ/4 = π 2 1 − i √ 2 . ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 4 = 0, ➦ ➓❂❤✐ç♠ 3.1 ❂ ✺ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 4 = 0. ◗➌r➯❺ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 = √ 2 4 π. ❹ êîÞè å ❂é ➡❮➡ ￾ é❰➔→ êë⑦ ⑧⑨✷ê➦×⑩ ⑥ t 1/(1 + z 4 ) ❹ ⑧⑨ ❺❿ ➄î❻❼× z = eiπ/4 ì z = ei3π/4 ✷ ➃➄í é ➡îïðñíò✷￾ éóô❂➱Ú î➃➄ ✉⑩❶ Z ∞ 0 dx 1 + x 100 , ❰➔õ ö ➁ π/50 ⑦÷ ë ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ ➅ ❿íî❻❼rÔ❰➔→ êë ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ø❿ 50 î❻❼✷➄ø❹➃➄í Û ⑦ùú ûü￾ý✷ ➱ÚÜ❂❹ Û ↔êòÞè å ❂ ÷ ë ⑧⑨ì→ êë ⑧⑨➄øþÿ￾￾✁✂⑦✄ ❂ ß à❂ ❹ ☎ ↔êîÞè å ❂ ÷ ë ⑧⑨✆ ➅✝ô✞í⑦ ✁✂✷ ➸ 7.7 ↔↕✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 ✷ ➺ ❪❫❂ ➼ ♦ ✿✟✠✡☛✹✫ 2π/3 ★☞✺ ❫❒ (❪ 7.5) ✷ ❱ 7.5 I C dz 1 + z 3 = Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 + Z 0 R e i2π/3dx 1 + x 3 =  1 − e i2π/3  Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 = 2π i res 1 1 + z 3     z=eiπ/3 = 2π 3 e −iπ/6 . ➭ ➎ ✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 3 = 0, ➦ ➓ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 3 = 0