1+6 请同学思考,从上式我们能得出什么结论? 答案:从方程组解出λ和,如果只有一组解,则+5就是原点到直线距 离的平方! 为此我们只要从方程组解出λ和μ即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加,再利用第四式得 3+6=2; 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加,再利用第五式得 6+144=12 从以上两个方程解得 =4 于是原点到直线 ∫x+y+z=1 5 x+2y+32=6 的距离为1(-+2 注解出4和后,容易得到本题的唯一可能条件极值点为x 3 x+y+二=1, 因此原点到直线 的距离为,F 517 x+2y+3z=6 333 3.一般地,考虑目标函数∫(x1,x2,…,x)在m个约束条件 81(x1,x2, 0( 下的极值,这里∫,g,(=1,2,…,m)具有连续偏导数,且 Jacobi矩阵 agm ag 8a8a:ga 在满足约束条件的点处是满秩的,即 rankJ=m。那么我们有下述类似的结论 定理1(条件极值的必要条件)若点x=(x,x2…,x)为函数∫(x)满足约束 条件的条件极值点,则必存在m个常数λ1,λ2…,n,使得在x0点成立 gradf=d, grad g, +1, grad g, +.+Am grad g 于是可以将 Lagrange乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange函数 Lx )=f( λ 那么条件极值点就在方程组 ol af λL=0 ax, a 的所有解(x12x12…,xn,1,A2…,An)所对应的点(x1,x2…,xn)中。(2 6) μλ 222 zyx +=++ 。 请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出λ 和 μ ，如果只有一组解，则 2 λ + 6μ 就是原点到直线距 离的平方！ 为此我们只要从方程组解出λ 和μ 即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得 λ + μ = 263 ； 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得 λ + μ = 12146 。 从以上两个方程解得 4, 3 22 μλ =−= 。 于是原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 5 )24 3 22 ( 2 1 =+− 。 注 解出λ 和μ 后，容易得到本题的唯一可能条件极值点为 3 7 , 3 1 , 3 5 zyx ==−= ， 因此原点到直线 的距离为 ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 632 ,1 zyx zyx 3 25 3 7 , 3 1 , 3 5 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ F − = 3 5 。 3．一般地，考虑目标函数 21 L xxxf n ),,,( 在 m 个约束条件 );,,2,1(0),,,(i 21 L n = = L < nmmixxxg 下的极值，这里 i = L migf ),,2,1(, 具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n m m m n n x g x g x g x g x g x g x g x g x g J L MMM L L 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 在满足约束条件的点处是满秩的，即rank = mJ 。那么我们有下述类似的结论： 定理 1（条件极值的必要条件）若点 为函数 满足约束 条件的条件极值点，则必存在 个常数 x0 ),,,( 00 2 0 1 n = L xxx f x)( m λ λ λ m ,,, 21 L ，使得在 点成立 x0 g g m g m grad f = λ1 grad + λ21 grad 2 +L+ λ grad 。 于是可以将 Lagrange 乘数法推广到一般情形。同样地构造 Lagrange 函数 ∑= = − m i n m n ii n xxxL xxxgxxxf 1 21 21 21 21 L L λλλ L λ L ),,,(),,,(),,,,,,,( ， 那么条件极值点就在方程组 （*） ),,2,1;,,2,1( ,0 ,0 1 mlnk g x g x f x L l m i k i i kk = L = L ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∑= λ 的所有解 ),,,,,,,( 21 n 21 m L xxx λ λ L λ 所对应的点 21 L xxx n ),,,( 中。 3