第34讲泰勒中值定理(2) 107 第34讲泰勒中值定理(2) 、利用泰勒公式求极限 我们已经看到利用具有拉格朗日型余项的泰勒公式可以进行误差估计,那么从下面的 讨论中我们可以看到利用具有皮亚诺型余项的泰勒公式在计算不定式极限时是十分有效 的,它不像罗比塔法则,分子、分母每求一次导数,分子、分母的无穷小阶数都只能减少1次, 而是可以马上利用带有皮亚诺型余项的泰勒公式得到分子、分母的无穷小的阶数,然后可直 接使复杂的极限问题迎刃而解. 例1求I=lim cos -e 解由于分母是x所以应把分子化为两部分:-部分是x的四次多项式,另一部分是 比x高阶的无穷小 +x++0(x2) 2! 1+(-2)+2(-2)+(x) O(x), 又 cosI 1 or 24 cosT-e 1 o(x4)]-[ o cx I= li 注意当所展函数是所求极限式中的分母(或分子)时,若已知分子(或分母)是x的k 阶无穷小,则将函数展成k阶麦克劳林公式 例2求Ⅰ=、lim(x+x-yx+ 解这是一个“∞-∞”型不定式,把它变成可以利用泰勒公式的形式 6x6+x5-vr6-x5 1 1 (1+1)-(1-1)b令1=t 这时,=lim(1+t)t 这是一个。型的不定式像例1一样,根据分母把分子 0 用泰勒公式分解成两部分 (1t)=1+t+o,(-)b=1e+o() (1 (1-t) t+o(t)