第三讲复变积分 3.1复变积分 复变积分是复数平面上的线积分.设C是复平面上的曲线,函数f(2)在C上有定义,把曲线 C任意分割为n段,分点为 sn 2nB 20=A,21,22,…,zn=B k是xk-1→2k段上的任意一点,作和数 f()(ak-2k-1)=∑f()4 k=1 若当n→∞,使得maxl4△ak→0时,此和数的极限存在,且 与k的选取无关,则称此极限值为函数f(x)沿曲线C的积 分,记为 )=m四n(c)4x 个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合 f(e)d (u +iv)(dr +idy) (u dr -vdy)+i/(udz +udy) 因此,如果C是分段光滑曲线,f(2)是C上的连续函数,则复变积分一定存在 复变积分的基本性质 1.如果积分/f(2)dz,/f(2d2, fn(2)dz都存在,则 f1(2)+f2(2)+……+fn(2)dz f1(2)dz+/f2(z)dz+…+/fn(2)d 2.若C=C1+C2+…+C f(a)dz+/ f(a)dz +.+/f(a)dz f(ad 3.f()dz=-/f(2)d,其中C-表示C的逆向; 4./af(a)dz=a/f()dz,其中a为常数; 5|层5vemd 6./f(2)d2≤M,其中M为|f(2)在C上的上界,l为C的长度Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 1 ✟ ✠✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ §3.1 ✏ ✑ ✒ ✓ ✔✕✖✗✘✔✙✚✛✜✢✣✖✗✤✥ C ✘✔✚✛✜✢ ✦✣✧★✙ f(z) ✩ C ✜✪✫✬✤✭ ✦✣ C ✮✯✗✰✱ n ✲ ✧✗✳✱ z0 = A, z1, z2, · · · , zn = B, ζk ✘ zk−1→zk ✲ ✜✢✮✯✴✳✧✵✶✙ Xn k=1 f(ζk) (zk − zk−1) = Xn k=1 f(ζk)∆zk, ✷✸ n→∞ ✧✹✺ max |∆zk| → 0 ✻ ✧✼✶✙✢✽✾✿✩ ✧❀ ❁ ζk ✢❂❃❄❅✧❆❇✼✽✾❈✱★✙ f(z) ❉ ✦✣ C ✢✖ ✗✧❊✱ Z C f(z) dz = lim max |∆zk|→0 Xn k=1 f(ζk)∆zk. ❋ 3.1 ✴●✔✕✖✗❍■✜✘❏● ❍✕✣✖✗✢✪❑▲▼ Z C f(z) dz = Z C (u + iv) (dx + i dy) = Z C (u dx − v dy) + i Z C (v dx + u dy). ◆✼✧❖P C ✘✗✲◗❘ ✦✣✧ f(z) ✘ C ✜✢❙❚★✙✧❆✔✕✖✗✴ ✫✿✩ ✤ ✔✕✖✗✢❯❱❲❳❨ 1. ❖P✖✗ Z C f1(z)dz, Z C f2(z)dz, · · · , Z C fn(z)dz ❩ ✿ ✩ ✧❆ Z C h f1(z) + f2(z) + · · · + fn(z) i dz = Z C f1(z) dz + Z C f2(z) dz + · · · + Z C fn(z) dz; 2. ✷ C = C1 + C2 + · · · + Cn ✧❆ Z C1 f(z) dz + Z C2 f(z) dz + · · · + Z Cn f(z) dz = Z C f(z) dz; 3. Z C− f(z) dz = − Z C f(z) dz ✧❬ ❭ C − ❪❫ C ✢❴ ❵❛ 4. Z C af(z) dz = a Z C f(z) dz ✧❬ ❭ a ✱❜✙❛ 5.    Z C f(z) dz    ≤ Z C |f(z)| | dz| ❛ 6.    Z C f(z) dz    ≤ Ml ✧❬ ❭ M ✱  f(z)   ✩ C ✜✢✜❝✧ l ✱ C ✢❞❡✤