第十一讲留数定理及其应用(二) 第7页 需要注意,在计算留数时,要遵守上面对于多值函数2°所作的限制,即0≤agz≤2n 思考题如果规定在割线上岸arg=2n,是否影响最后结果? 思考题如果Qx)具有一定的对称性质,例如是x的奇函数或偶函数是否可以取其他形式 的围道? 例11.4计算积分 dx,0<a<1,-丌<y< 解这里的被积函数显然满足上述讨论中的要求,因此 .+eidr= eigel(y+na-1)__丌 27ri sIn TTO 从这个积分还可以推出一些更进一步的结果.例如,作为这个积分的特殊情形 在r函数一章中要直接应用到这个结果.又如,比较(★)式两端的虚部,还可以得到 +2c4=如==2 这个结果是在0<α<1的条件下得到的,但是可以解析延拓到0<α<2.比较(★) 式两端的实部,也可以得到同样的结果. 另一种多值函数的积分涉及对数函数.先讨论下面的例子 例115计算积分 解取围道如图11.3,计算复变积分 dr In2-dz 2+z 人n2dz+。1++22dx+ 2n>m{}( 全 因为 根据引理32和引理31,有 所以,取极限R→∞,6→0,即得 1+x+公dx 1+x+dx=- lnx+2丌Wu Chong-shi ÑÒÓÔ ÕÖ×ØÙÚÛÜ (Ý) Þ 7 ß à➅á✺ ❉⑨➈➉ ✽④ ➡ ❉➅âã⑩❸ä➨ ➜ ➱ ③④ z s ❮å✰❼æ❉Ø 0 ≤ arg z ≤ 2π ✿ P◗❘ ⑦⑧ç ✭⑨è❊⑩é arg z = 2π ❉✇❨êëìÏ ❬ ⑧ ❭ P◗❘ ⑦⑧ Q(x) í❻➢ ✭✰äø✯î❉⑧ ⑦ ✇ x ✰❾③④✹ï ③④❉✇❨✵✶⑤➩ð✳✴ ✰ ➟❃ ❭ Ù 11.4 ➈➉✮✯ Z ∞ 0 x α−1 x + eiϕ dx ❉ 0 < α < 1, −π < ϕ < π ✿ Ú ✫✺✰②✮③④äåÑÒ⑩ñÝÞ ➫✰➅➓❉æà Z ∞ 0 x α−1 x + eiϕ dx = 2π i 1 − e i2πα e i(ϕ+π)(α−1) = π sin πα · e iϕ(α−1) (F) ❙✫❽✮✯â✵✶ò➊➢ ➁❽➮➢➱ ✰❬ ⑧✿⑧ ⑦ ❉å⑥✫❽✮✯✰óôõ✳❉ ϕ = 0 ❉➀ Z ∞ 0 x α−1 1 + x dx = π sin πα . ⑨ Γ ③④➢ö ➫➅❉÷✻✼ã✫❽❬ ⑧✿✷ ⑦ ❉➌➍ (F) ✴ñ❸✰➑➏❉â✵✶➔ã Z ∞ 0 x α−1 x 2 + 2x cosϕ + 1 dx = π sin πα sin(1 − α)ϕ sin ϕ . ❂➙ø✄P✞ 0 < α < 1 ❆ùú✗ûü❆❉❖P❋ ●ýþÿ￾ü 0 < α < 2 ✿✁✂ (F) ❣✢✄❆ ☎☎❉✌❋ ●ûü ❡✆❆ø✄ ✿ ✝ ➢ ❹➜➱ ③④✰✮✯✞ûä④③④✿✟ ÝÞ×❸✰⑧✠ ✿ Ù 11.5 ➈➉✮✯ Z ∞ 0 ln x 1 + x + x 2 dx ✿ Ú ⑤ ➟❃ ⑦❐ 11.3 ❉➈➉❁❂✮✯ I C ln z 1 + z + z 2 dz = Z R δ ln x 1 + x + x 2 dx + Z CR ln z 1 + z + z 2 dz + Z δ R ln ￾ xe i2π
1 + x + x 2 dx + Z Cδ ln z 1 + z + z 2 dz = 2π i X Ð➃➄ res  ln z 1 + z + z 2  = 2π i  2π 3 √ 3 − 4π 3 √ 3  = − 4π 2 i 3 √ 3 . æ⑥ limz→∞ z · ln z 1 + z + z 2 = 0, limz→0 z · ln z 1 + z + z 2 = 0, ÛÜÓÔ 3.2 ➐ ÓÔ 3.1 ❉❻ lim R→∞ Z CR ln z 1 + z + z 2 dz = 0, lim δ→0 Z Cδ ln z 1 + z + z 2 dz = 0. ❮✶❉⑤ò❼ R → ∞, δ → 0 ❉Ø➔ Z ∞ 0 ln x 1 + x + x 2 dx − Z ∞ 0 ln x + 2π i 1 + x + x 2 dx = − 4π 2 i 3 √ 3