C=(c)mn为局中人1的赢得矩阵,C2=(c2)mn为局中人Ⅱ的赢得矩阵。因此 双矩阵对策记为 {S1,S2,C,C2} 表2 B2 B (c12c2) 定义5设G={S1,S2,C,C2}是一双矩阵对策,若等式 ii-minmaxc,c4 min max c2 (4) 成立,则记v=c,并称n1为局中人的赢得值,记v2=C,并称"2为局中人Ⅱ的 赢得值,称(a,,β.)为G在纯策略下的解(或Nash平衡点),称a,和B.分别为局中 人L,Ⅱ的最优纯策略。 实际上,定义5也同时给出了纯策略问题的求解方法。因此,对于例1,(1,0),(1,0) 是Nash平衡点,这里(1,0)表示以概率l取第一个策略,也就是说,坦白是他们的最佳策 略。 52混合对策问题 如果不存在使式(4)成立的对策,则需要求混合对策。类似于二人零和对策情况, 需要给出混合对策的最优解。 (1)混合对策问题的基本概念 定义6在对策G={S1,S2C",C2}中,若存在策略对x∈S1,y∈S2,使得 xCJ≤xC"y,vx∈S xCy≤xC2j,v∈S2 则称(x,y为G的一个非合作平衡点。记v1=xCp,n2=xC2J,则称v1,v2分别 为局中人I,Ⅱ的贏得值。 对于混合对策问题有如下定理 定理8每个双矩阵对策至少存在一个非合作平衡点。 定理9混合策略(xy)为对策G={S1,S2C,C2}的平衡点的充分必要条件是 %5≤xCy,1=12,…,m (5) ≤xC 2元 (2)混合对策问题的求解方法 由定义6可知,求解混合对策就是求非合作对策的平衡点,进一步由定理8得到 求解非合作对策的平衡点,就是求解满足不等式约束(5)的可行点。因此,混合对策 163-163- ij m n C c = × ( ) 1 1 为局中人 I 的赢得矩阵， ij m n C c = × ( ) 2 2 为局中人 II 的赢得矩阵。因此， 双矩阵对策记为 { , , , } 1 2 G = S1 S2 C C 表 2 β1 β 2 … β n α1 ( , ) 2 11 1 11 c c ( , ) 2 12 1 12 c c … ( , ) 2 1 1 1n n c c α 2 ( , ) 2 21 1 21 c c ( , ) 2 22 1 22 c c … ( , ) 2 2 1 2n n c c M M M M α m ( , ) 2 1 1 m1 m c c ( , ) 2 2 1 m2 m c c … ( , ) 1 2 mn mn c c 定义5 设 { , , , } 1 2 G = S1 S2 C C 是一双矩阵对策，若等式 1 1 * * min max ij j i i j c = c ， 2 2 * * min max ij i j i j c = c （4） 成立，则记 1 1 * * i j v = c ，并称 1 v 为局中人I的赢得值，记 2 2 * * i j v = c ，并称 2 v 为局中人II的 赢得值，称( * , * ) i j α β 为G 在纯策略下的解（或Nash平衡点），称 * i α 和 * j β 分别为局中 人I，II的最优纯策略。 实际上，定义5也同时给出了纯策略问题的求解方法。因此，对于例1，((1,0),(1,0)) 是Nash平衡点，这里(1,0) 表示以概率1取第一个策略，也就是说，坦白是他们的最佳策 略。 5.2 混合对策问题 如果不存在使式（4）成立的对策，则需要求混合对策。类似于二人零和对策情况， 需要给出混合对策的最优解。 （1）混合对策问题的基本概念 定义6 在对策 { , , , } 1 2 G = S1 S2 C C 中，若存在策略对 * 2 * 1 x ∈ S , y ∈ S ，使得 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ * 2 2 2 * 1 1 1 , , x C y x C y y S x C y x C y x S T T T T 则称(x, y)为G 的一个非合作平衡点。记v x C y T 1 1 = ，v x C y T 2 2 = ，则称 1 2 v , v 分别 为局中人I，II的赢得值。 对于混合对策问题有如下定理。 定理8 每个双矩阵对策至少存在一个非合作平衡点。 定理9 混合策略(x, y)为对策 { , , , } 1 2 G = S1 S2 C C 的平衡点的充分必要条件是 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ = ≤ = ∑ ∑ = = c x x C y j n c y x C y i m T i m i ij T n j ij j , 1,2, , , 1,2, , 2 1 2 1 1 1 L L （5） （2）混合对策问题的求解方法 由定义6可知，求解混合对策就是求非合作对策的平衡点，进一步由定理8得到， 求解非合作对策的平衡点，就是求解满足不等式约束（5）的可行点。因此，混合对策