3(1-3/)=0。 分两种情况: 当1-34=0时,得 (2)当A=0时,原方程组就是 (1-)x=0, (1-4)y=0, (1-4)2=0, x+y+==0 x2+y2+4z2-1=0 此时μ=1(否则从以上方程组的第一,第二和第四式得到x=y=z=0,这不是 椭圆上的点)。 于是得到该椭圆的半长轴为1,半短轴为1,面积为z。 许多实际问题并不需要完全解出方程组来求得最值,上述解法是一种常用的 方法,可以使解决问题的方法与计算简化。 例3求函数f(x,y)=ax2+2bxy+cy2(b2-ac<0,a,b,c>0)在闭区域 D={(x,y)|x2+y2≤l}上的最大值和最小值。 解首先考察函数∫在D的内部(x,y)x2+y2<1}的极值,这是无条件极值 问题。为此解线性方程组 f =2ax+2by=0, f,=2bx 由假设b2-ac<0知道方程组的系数行列式不等于零,因此只有零解x=0,y=0, 即(0,0)点是驻点。易计算在(00)点 Jx(0.0)=2a,J2(00)=2b,Jy(0,0)=2c, 因此f2(0)f2(0.0)-f02(0.0)=4(ac-b2)>0。而f>0,所以()点是函数f 的极小值点,极小值为f(00)=0。 再考察函数∫在D的边界{(x,y)x2+y2=l}上的极值,这是条件极值问题 为此作 Lagrange函数 L(x,y,4)=ax2+2bxy+cy2-(x2+y2-1) 并得方程组 (a-d)x+by=0 bx +(c-d)y=0 y2-1=0 将方程组中的第一式乘以x,第二式乘以y后相加,再用第三式代入就得到 f(x,y)=ax2+2bxy+gy2=1(x2+y2)=, 这说明∫(x,y)在{(x,y)|x2+y2=l}上的极大值与极小值包含在方程组关于A的 解中。下面来求λ的值 由联立方程组中的x2+y2-1=0,可知二元一次方程组 a-A)x+by=0 有 bx+(c-d)yλ − μ = 0)31(3 。 分两种情况： （1） 当 μ =− 031 时，得 3 1 μ = 。 （2） 当λ = 0 时，原方程组就是 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =++ =− =− =− .014 ,0 ,0)41( ,0)1( ,0)1( 222 zyx zyx z y x μ μ μ 此时μ = 1（否则从以上方程组的第一，第二和第四式得到 = zyx == 0 ，这不是 椭圆上的点）。 于是得到该椭圆的半长轴为 1，半短轴为 3 1 ，面积为 3 π 。 许多实际问题并不需要完全解出方程组来求得最值，上述解法是一种常用的 方法，可以使解决问题的方法与计算简化。 例 3 求函数 （ ）在闭区域 上的最大值和最小值。 2 2 2),( ++= cybxyaxyxf 0,,;0 2 <− cbaacb > }1|),{( 22 D = yxyx ≤+ 解 首先考察函数 在 D 的内部 的极值，这是无条件极值 问题。为此解线性方程组 f }1|),{( 22 yxyx <+ ⎩ ⎨ ⎧ =+= =+= .022 ,022 cybxf byaxf y x 由假设 知道方程组的系数行列式不等于零，因此只有零解 ， 即 点是驻点。易计算在 点 0 2 acb <− yx == 0,0 )0,0( )0,0( f fa fb c xx = xy = yy = 2)0,0(,2)0,0(,2)0,0( ， 因此 。而 ，所以 点是函数 的极小值点，极小值为 0)(4)0,0()0,0()0,0( 2 2 xx yy − fff xy bac >−= f xx > 0 )0,0( f f = 0)0,0( 。 再考察函数 在 D 的边界 上的极值，这是条件极值问题。 为此作 Lagrange 函数 f }1|),{( 22 yxyx =+ 2),,( )1( 2 2 22 λ λ yxcybxyaxyxL −+−++= ， 并得方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =−+ =+− .01 ,0)( ,0)( 22 yx ycbx byxa λ λ 将方程组中的第一式乘以 x，第二式乘以 后相加，再用第三式代入就得到 y 2),( λ )( =+=++= λ 2 2 22 yxcybxyaxyxf ， 这说明 yxf ),( 在 yxyx 22 =+ }1|),{( 上的极大值与极小值包含在方程组关于λ 的 解中。下面来求λ 的值。 由联立方程组中的 yx 22 =−+ 01 ，可知二元一次方程组 有 ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =+− 0)( 0)( ycbx byxa λ λ 6