VoL27 No.5 廖福成等：二维稳态晶体生长控制方程的数值解 ·563· 5 仿真实例 1.0 在式(1)，(2)，(5)，(6)中取D=1,,=1,=1,N=20, 0.5 L=10及L=100,相应地取M=30及仁300，Cx,0)= 0 cos(x),C(0,z)=C(21,z)=exp(-z/2)cos(3z).Mat- 0.5 lab语言，编出上节算法的程序.得到的模拟结果 如图1和图2.从图中可以看出，在固液界面前沿 50 晶体生长浓度呈现振荡衰减的.这与已有的实验 00 2 结果是一致的.图3是在L=100时，沿z方向晶 图2晶体生长浓度C的分布（化，=100） 体生长的浓度C分布剖面图， Fig.2 Distribution of mass concentration for crystal growth (L,=100) 0.6 1.0 0.4 0.5、 0.2 0↓ 0 0.5 ·00 0.2 -1 0.4 10 0102030405060708090100 00 2 图3沿z方向晶体生长浓度分布的剖面图化=100) 图1晶体生长浓度C的分布(L=0) Fig.3 Section diagram of mass concentration distribution for Fig.1 Distribution of mass concentration for crystal growth(L,=10) crystal growth along the direction (L,=100 参考文献 制方程及解析解.中国有色金属报，2002,12（专集1少57 [)廖福成，郑连存.稳态品体生长控制方程的解析解.见：全 [1]Nash G E,Glicksman M E.Capillarity-limited steady state de- 国信息与计算科学学术研讨会论文集，西安：陕西人民出 ndritic growth(I):theoretical development.Acta Metall,1974 版社，2002.31 22:1283 [⑧)廖福成，祖翠娥，郑连存，等，控制熔体浓度三维稳定态方 [2]Xu J J.Interfacial wave theory of solidification:dentritic pattern 程的精确解.北京科技大学学报，2004,26(153 formation and selection of tip velocity.Phys Rev A,1991,15(43): [9]王自东，周永利，常国威等，控制单向合金凝固界面形态 930 [3]Xu JJ.Generalized needle solution,interfacial instabilities and 非线性力学方程.中国科学(E辑)，1999,29(1)：】 [10]王凤英，陈明文，孙仁济，等.三维稳态晶体生长的物理本 pattern formation.Phys Rev E,1996,53(5):5051 质.北京科技大学学报，2003,25(3)：230 [4]Xu J J.Interfacial Wave Theory of Pattern Formation.Berlin [11】徐长发，李红.偏微分方程数值解法，武汉：华中理工大学 Springer-Verlag,1998 出版社，2000 [5]Wang M,Zhong S,Yin X B.Nanostructured copper filaments in [I2]Mathews JH,Fink K D著.数值方法(MATLAB版)陈渝等 electrochemical deposition.Phys Rev Lett,2001,86:3827 译.北京：电子工业出版社，2002 [)]孙仁济，王自东，陈明文，等.铝合金晶体生长稳态时的控 Numerical solution of governing equations for two-dimension steady state crystal growth LIAO Fucheng,TAO Juan,LIU Heping 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Information Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRCT A boundary value problem of governing equations for the concentration of crystal growth is solved in the two-dimension steady state considering the effect of uniform convection field.The differential equation is nu- merically discretized into a system of linear algebraic equations by using the finite difference method.In order to improve computational efficiency,the system of linear algebraic equations is decomposed to several sub-systems. The result of numerical simulation shows that the concentration of crystal growth in steady state presents oscillating attenuation along the direction of dendrite growth in the action of uniform convection field. KEY WORDS crystal growth;partial differential equation;boundary value problem;numerical solutionVb L2 7 N 0 . 5 廖福 成 等 : 二 维稳 态 晶体生 长控 制方 程 的数值 解 一 5 6 3 - 5 仿真 实例 在式 ( l ) , (2 ) , ( 5 ) , (6 ) 中取 =D l , 护1 , 护1 , =N 20 , L l = 10 及 L t = 100 , 相 应 地 取人卜 3 0 及几卜3 0 0 , 侧沐 , 0 ) = e o s (x ) , (C 0习= (C 2切 = e x P卜z2/ ) e o s ( 32) . 采 用 M at - lab 语 言 , 编 出上节 算法 的程序 . 得 到 的模拟 结 果 如 图 1 和 图 2 . 从 图中 可 以看 出 , 在 固液 界 面前 沿 晶体 生长 浓度 呈现 振荡 衰减 的 . 这 与 已 有 的实验 结果 是 一致 的 `5] . 图 3 是在乙二 10 0时 , 沿 z 方 向晶 体 生 长 的浓度 C 分 布剖 面 图 . 0 . 5 Q 0 刁 . 5 一 、a u U 图 2 晶体 生长 浓度 C 的 分布 (L . = 1 0 ) iF g . 2 D is t ir b u it o . o f m a s , e o . e e n t r a it o n fo r e yr s at l g r o 叭沈h ( L , = 10 0 ) 0 . 6 0 . 4 0 . 2 n ù`, 欲 ǎ的z81 . à口0 刁 . 4 0岭1 0 2 0 一3 0 4 0 5 一0 6 0 7 0一8 0 9 0 1 0 0 图 l 晶体 生长 浓度 C 的分布 ( L . = 0) F ig . I D 七t r i b u it o . o f m朋 5 c o n e e n t ar iot n fo r e 叮s扭 1 g or 袱h (L . = 10) 参 考 文 献 [ l 」N a s h G E , G li e ks m an M E . C iaP l iar ty 一 lim i te d s t e a d y s at e d e - 口 d ir it e gID w ht ( 1) : ht e o re it c a l d e ve l o四 e nt . A e 加 M e at .l 19 7 4 , 2 2 : 12 8 3 [ 2 ] Xu J J . nI te arf e i a l w va e ht e o ry o f s o lid i if c a t i o n : d e n itr t i e P a t e rn of rm at i o n an d s e l e e it on o f it P v e loc i .ty P b y s R e v A , 19 9 1 , 15 ( 4 3 ) : 9 3 0 [ 3 ] X u J J . eG n e r a lize d ne e id e s o lut ion , in te arf e ial in s atb ili t i e s an d P a t e m of rm a t lon . P b ys R e v E , 19 9 6 , 5 3 ( 5) : 5 0 5 1 4[ ] Xu J J . iht e r af c lal 叭a/ v e T七e o ry o f P at em F o arm it o n . B e r li n S P n o g e r ` Ve r l a g , 19 9 8 [ 5 ] w 山l g M , z b o n g s , Y in x B . N an o ’strU e姗 d e 叩衅 if l am e n t s i n e l e e加hc em i c a l de P o s iit on . P b y s R ve L e t , 2 0 0 1 , 86 : 3 82 7 6[] 孙仁济 , 王 自东 , 陈明文 , 等 . 铝合 金晶体 生 长 稳态 时的控 Z 图 3 沿z 方 向晶 体 生长 浓度 分布 的剖面 图 (L I = 10 ) F i咨3 S e e 6 o n d i a g ar m o f m a s s e o . e e n t r a 找o n 由 , itr b u it o n fo r e yr s t a l g门 w ht a l o n g th e d i溉it o n (L . , 10 ) 制方 程及 解析 解 . 中国 有色金 属 报 , 2 0 02 , 12( 专集 l) : 57 7[ 〕 廖福 成 , 郑连存 . 稳 态晶 体生长 控制 方程 的解析 解 . 见 : 全 国信 息与 计算科 学学 术研讨会 论文集 , 西 安 : 陕 西人 民出 版社 , 2 0 0 2 . 3 1 18 ] 廖福 成 , 祖 翠娥 , 郑连存 , 等 . 控制 熔体 浓度三 维稳 定态 方 程的 精确解 . 北京科 技大 学学报 , 2 0 0 4 , 2 6( l ) : 5 3 19 1 王 自东 , 周 永利 , 常 国威等 . 控制 单 向合金凝 固 界面形 态 非线 性力 学方程 . 中国 科 学( E 辑 ) , 1 99 9 , 2 9 ( I ) : ] 【10 ] 王 凤 英 , 陈 明文 , 孙仁 济 , 等 . 三维 稳态 晶体 生长 的物理 本 质 . 北京科 技大 学学报 , 2 0 0 3 , 2 5(3 ) : 2 3 0 【川 徐 长发 , 李 红 . 偏 微分 方程 数值解 法 . 武汉 :华 中理工 大学 出版社 , 2 0 0 0 [ 12 ] M a ht e w s J H , r ink K D 著 . 数值方 法 ( M A T L A B 版 )陈渝等 译 . 北京 : 电子工 业 出版 社 , 2 0 02 N u m ier e a l s o l u t i o n o f g o v em i n g e q u a t i o n s ofr tw o 一 d im e n s i o n s t e a d y s at e c ry s at l g or w th L IA O uF e h e叮 , , , TA O uJ a n , , , IL U H op i n犷 ) l ) A P P li e d S e ie cn e S e h o o l , U n i v e rs ity o f s c i e n e e an d 介 e ho 0 1 o gy B e ij i n g , B e ij in g l 0 00 8 3 , C h i n a 2 ) ih of n 刀 a t lon E n ig ne n n g S e ho o L U n i V ers ity o f s e i en e e an d 介 e h n 0 1 o gy B e ij 运g , B e ij ign 1 00 0 83 , C ih an A B S T R C T A b o un d a ry v a l u e P or b l e m o f g o v em in g e q u iat o n s of r ht e e o n e e n tr at i o n o f e ry s at l 脚袱h 1 5 s o vl e d in ht e tw o 一 d im e n s i o n s te a d y s at e e o ns ide ir n g ht e e fe e t o f u in of rm e o n v e e t i o n if e l d . T h e d i fe re n t i a l e qu iat o n i s nu - me ir e al ly d i s e re itz e d i n t o a s y s t e m o f line ar a lg e bar i e e q u iat o n s b y u s i n g ht e if n i t e d i fe o n e e m e ht o d . I n o 记e r ot im Por v e e o m P u at t i o an l e if e i e n e又 ht e s y s t e m o f li n e ar a lg e b r a i C e q u iat o n s 1 5 de c o m P o s e d t o s e v er a l s u b 一 s y s te m s · hT e 把s u lt o f n um e ir e a l s imu lat i o n s h ow s ht at ht e e o n e en tr a t i o n o f e ry s at l g or wt h i n s t e a d y s t ate P re s e n t s o s e il l a t in g at e n u a t i o n al o gn hte d ire e t i o n o f d e n d ir t e g ID wt h i n ht e a e t i o n o f un i of rm e o n v e e t i on if e ld · K E Y W O R D S c ry s at l g or wt h ; P a rt i a l d i fe 化n t i a l e qu at i o n : b o un d a ry v a l u e Por b l e m : nu m e ir e a l s o l u ti o n