k1a1+k2a2+…+k,a3=0 两边用a,作内积,得k1=0,(i=1,2,…,s) 如果n维欧氏空间V内有n个两两正交的单位向量E1,E2,…,En,则由命题1.2可知 它们是线性无关的,从而是V的一组基,称为V的一组标准正交基 显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵E 设,n2,,7n是V的一组基,内积在此基下的度量矩阵为G.G正定,故存在实可逆 阵T,使TGT=E.现令(E1,E2,,En)=(,2,…,7n)易验证G1,E2…,En就 是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的 设R上n阶方阵T满足 TT=E 则称T是正交矩阵 命题1.3s,;E2…,En是V的一组标准正交基,令 7,n2…,mn)=(E,E2, 则7,n2,…,nn是一组标准正交基当且仅当T是正交矩阵 证明必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 TET=E 即TT=E,T是正交矩阵 充分性:T是正交阵,故可逆,于是,n2…,7n也是一组基.设内积在此基下的 度量矩阵为G,则G=TET=E,从而n,2,…,是标准正交基 命题1.3给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩 阵 下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特( Schmidt)正交化方法 把问题提得一般一些:给定V中一个线性无关的向量组 要求作出一个新向量组 满足k11 + k2 2 ++ ks s = 0 两边用  i 作内积,得 ki = 0 ,(i=1,2,…,s). 如果 n 维欧氏空间 V 内有 n 个两两正交的单位向量 1 2 n  ， ，， ,则由命题 1.2 可知 它们是线性无关的,从而是 V 的一组基,称为 V 的一组标准正交基. 显然,内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵 E. 设 1，2，，n 是 V 的一组基,内积在此基下的度量矩阵为 G.G 正定,故存在实可逆 阵 T,使 TGT = E.现令( 1 2 n  ， ，， )=( 1，2，，n )T.易验证 1 2 n  ， ，， 就 是一组标准正交基.这说明标准正交基总是存在的. 设 R 上 n 阶方阵 T 满足 T T = E 则称 T 是正交矩阵. 命题 1.3 1 2 n  ， ，， 是 V 的一组标准正交基,令 ( 1，2，，n )=( 1 2 n  ， ，， )T 则 1，2，，n 是一组标准正交基当且仅当 T 是正交矩阵. 证明 必要性:内积在不同基下的度量矩阵合同,故 T ET = E 即 T T = E ,T 是正交矩阵. 充分性:T 是正交阵,故可逆.于是 1，2，，n 也是一组基.设内积在此基下的 度量矩阵为 G,则 G = T ET = E ,从而 1，2，，n 是标准正交基. 命题 1.3 给出了正交矩阵的一个等价定义:正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩 阵. 下面我们介绍标准正交基的求法,这个方法通常叫做施密特(Schmidt)正交化方法。 把问题提得一般一些:给定 V 中一个线性无关的向量组 1 2 s  , ,  , 要求作出一个新向量组 1 2 s  ， ，， 满足: