第九讲;二性常例分方程了幂级数解法( 第5页 1r(+n+1) z6(m2(-n+1(2 ln(x-1)+dn(x-1)2 按照常微分方第级数到法的标准步骤,故出系数g(故不由0)和dn即因 更实用的办法是根际第二到与第到之间的关系,写出 (x)=gP1(x) PI(S)2 P()21-2 gP(a) h-+9Pa)/ de P()]2 容易判断右端第二项此|-11<2到析,因此因以将第二到设由 y2(a)=oPI(a)In 取g=1,并故出dn,最后就因以第出 Legendre方第的第二到 0(=(2+-2-20++2C=m+( +-+: 称由1圆第二类 Legendre I函数,其中y是Eulr数,()是工函数的对数微商由于函数P(x)(延 拓到全平面后,它是以x=-1和x=∞由故点的多值函数)和Q(x)的多值性已有约故性的规 故,使用时需要特别注意Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✄ ) ✒ 5 ✓ = g X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  x − 1 2 n ln(x − 1) + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ❣❤s✺ñ✿❀➾ t❇✐✼✩❥❦❧●❵áÕt g(❫❵❈❑ 0) ❣ dn ✂❁✾ ♠✬Ò✼♥✐❆✹❚❀☎❇♦❀❫❇♣q✼♣Õ●rá y2(x) = gPl(x) Z x ( 1 [Pl(ξ)]2 exp "Z ξ 2ζ 1 − ζ 2 dζ #) dξ = gPl(x) Z x 1 [Pl(ξ)]2 dξ 1 − ξ 2 = gPl(x) Z x dξ 1 − ξ 2 + gPl(x) Z x  1 [Pl(ξ)]2 − 1  dξ 1 − ξ 2 , st✌✍✉❈❀☎➘▲ |x − 1| < 2 ◗❇✐●❁▲❁➬✢ ❀☎❇❏❑ y2(x) = g 2 Pl(x) ln x + 1 x − 1 + X∞ n=0 dn(x − 1)n . ❝ g = 1 ●✈❵á dn ●✇✕Ö❁➬❘á Legendre ✿❀✼❀☎❇ Ql(x) = 1 2 Pl(x)  ln x + 1 x − 1 − 2γ − 2ψ(l + 1) + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (l + n + 1) Γ (l − n + 1)  1 + 1 2 + · · · + 1 n  x − 1 2 n , ✆ ❑ l ❱❀☎❞ Legendre ②t●q r γ ❆ Euler t● ψ(z) ❆ Γ ②t✼✻t✺①✾❑❰②t Pl(x)(② ③❇④⑤ö✕●þ❆➬ x = −1 ❣ x = ∞ ❑■✺✼✇①②t ) ❣ Ql(x) ✼✇①✻ ✼ ➚⑥❵✻✼⑦ ❵●❐Ò❄⑧à⑨❄⑩❶✾