由定理1,我们有 (xy)dd=7(xy)d=丁!xy dx f(x, y)dy 定理证毕 如果区域D=(xy)e≤y≤d,v/(y)≤x≤v(y),其中v{(y)与v2(y)是[dl 上的连续函数f(x,y)在D可积,且对任意的y∈c,d,l(y)=「购(x,y存在 则 /(xy)dd=丁小(xy 若一个区域能分成若干个以上我们讨论过的区域,则二重积分的计算即可归结为定积 分的计算 例:求y4x2-y2dxd,其中D是由y=0,y=x和x=1所围成的区域 解:j∫y4x2-ydoh=y4x2-yh + 2x- arcsin dx= 显然,以上积分也可以化为[d[√4x2-y2dx.但读者不难发现如果采取这种积分 顺序,计算是十分复杂的.由此可见,积分顺序的选取对积分的计算有很大的影响 例2:求由z=xyz=x+y,x+y=1,x=0,y=0所围立体的体积 解:设D=(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1-x,则此立体的体积可看为底为D的两个曲 顶分别为z=x+y及z=xy的柱体的体积之差 ∫kx+y)-x)dp= 例3:用两种不同的顺序将二重积分I=「f(x,y)dxd化为累次积分,其中D是由 y=0,y=x3,x+y=2所围 77 由定理 1, 我们有 ( , ) . ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ( ) ( ) 2 1 1 ò ò òò òò ò ò = = = x x b a d c b a D D dx f x y dy f x y dxdy f x y dxdy dx f x y dy j j 定理证毕. 如果区域 {( , ) , ( ) ( )} 1 2 D = x y c £ y £ d y y £ x £y y , 其中 ( ) 1 y y 与 ( ) 2 y y 是[c, d] 上的连续函数. f (x, y) 在 D 可积, 且对任意的 y Î[c, d] , ò = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) y y I y f x y dx y y 存在. 则 òò ò ò = d c y y D f x y dxdy dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) y y . 若一个区域能分成若干个以上我们讨论过的区域, 则二重积分的计算即可归结为定积 分的计算. 例 1: 求òò - D x y dxdy 2 2 4 , 其中D 是由 y = 0, y = x 和 x =1所围成的区域. 解: òò ò ò - = - 1 0 0 2 2 2 2 4 4 x D x y dxdy dx x y dy . 2 3 3 3 1 2 3 3 2 4 2 arcsin 2 1 0 2 1 0 0 2 2 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + ú û ù ê ë é = - + ò ò = = p p x dx dx x y x y x y y y x 显然, 以上积分也可以化为 ò ò - 1 0 1 2 2 4 y dy x y dx . 但读者不难发现如果采取这种积分 顺序, 计算是十分复杂的. 由此可见, 积分顺序的选取对积分的计算有很大的影响. 例 2: 求由z = xy, z = x + y, x + y = 1, x = 0, y = 0 所围立体的体积. 解: 设D = {(x, y) 0 £ x £1, 0 £ y £1- x}, 则此立体的体积可看为底为 D 的两个曲 顶分别为 z = x + y 及 z = xy的柱体的体积之差. [ ] [ ] 27 4 ( ) ( ) 1 0 1 0 = + - = + - = òò ò ò -x D V x y xy dxdy dx x y xy dy . 例 3: 用两种不同的顺序将二重积分 òò = D I f (x, y)dxdy化为累次积分, 其中 D 是由 0, , 2 3 y = y = x x + y = 所围