第八章动态规划 到现在为止，已研究过的模型都可称为静态模型，这类模型的特点是一次（或者说同 时)处理所有的决策变量，以寻求这些决策变量的最优值.也存在这样一些问题，可以从 时问上或空间上将问题划分为若干个相互联系的阶段，要求依次在每个阶段作出决策 这样的问题我们称之为多阶段决策问题。如果把每个阶段作出的决策所形成的决策序列 称为一个策酪，那么求解多阶段决策问题便在众多的策略中找出向题的最优策略，动态 规划方法是用于寻求某些多阶段决策问题最优策略的一种方法，所谓“动态”，指的是问 题需逐个阶段处理（即时间或空间的转移）这一特性. 动态规划方法可用于求解不少类型的运筹学问题，但并不存在一个如单纯形法那样 适用于各类问题的单一算法。此外，模型中所用符号也比较复杂。我们将先讨论两个具体 问题，阐明动态规划问题的解题步骤，再介绍动态规划的基本概念与基本原理，然后讨论 几个其他问颗顺.以说明动态规划应用的广泛性 s8.1两个引例 一、最短路线问题 例1.图8-1为一线路网络，现在要铺设从地点A到地点E的铁路。中间需经过3个 点，第1点可以是B,B2,B品中的某一个点，第2点可以是C,C2,C中的一个点，等等. 各点之间，若能铺设铁路，则在图中以连线表示，连线上的数字表示两点间的距离.要求选 择一条A至E的最短铺设路线 图8-1 这个问题可分为4个阶段进行决策。第1阶段：从A出发，终点可选择B或B2或 B3,第2阶段：从B1出发（如果第1阶段的决策导致终点为B),终点可选择C或C2: 或从B2出发（如果第1阶段的决策导致终点为B2).终点可选择C或C2或C3:或从 B出发（如果第1阶段的决策导致终点为B终点可选择C2或C.这样继续下去，直 至第4阶段达到E. 为了作出最优决策，可以穷举A到E的所有路线，并计算每条路线的长度，然后找出 1 ￾✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞ ✟✡✠✡☛✡☞✡✌, ✍✏✎✡✑✡✒✡✓✡✔✡✕✡✖✡✗✡✘☞✡✙✡✚✔✡✕✡✛✢✜✡✣✡✔✡✕✡✓✡✤✡✥✡✦✡✧✡★ (✩✡✪✡✫✡✬ ✭ ) ✮✰✯✰✱✰✲✰✓✰✳✰✴✰✵✰✶, ✷✰✸✰✹✰✜✰✺✰✳✰✴✰✵✰✶✰✓✰✻✰✼✰✽✰✛✢✾✰✿☛✜✰❀✰✧✰✺✰❁✰❂, ✗✰✷✰❃ ✭✡❄✡❅✩✡❆❄✡❅✡❇❁✡❂✡❈✡❉☞✡❊✰❋✰●✡❍✰■✡❏✰❑✓▼▲✡◆, ❖✡✹✡P✡★☛✡◗✡●✡❘✡❙✡❚✡❯ ✳✡✴✰✛ ✜✡❀✡✓✡❁✡❂✡❱✡❲✡✘✡❳☞❩❨▲✡◆✡❬✡❭✡❪✡❫✡✛❵❴✡❛✡❜◗✡●✡❘✡❙✡❚✡❯ ✓✡✳✡✴✡✱✡❝✡❞✡✓✡✳✡✴✡❡✡❢ ✘ ☞✧ ● ❭✰❣, ❤✰✐✰✹✰❥✰❦❘✰❙✳✰✴✰❁✰❂✰❧☛✰♠❦✰✓✰✴✰♥♣♦rq❯ ❁✰❂✰✓✰✻✰✼✰✴✰♥✰✛✢s✰t ✉✡✈①✇✡②✦✡③✡④✡✸✡✹✡⑤✡✺✡❦❘✡❙✳✡✴✡❁✡❂✡✻✡✼✡✴✡♥✡✓✡✧✡⑥✇✰②✛✢✱✡⑦ “⑧✚ ”, ⑨✡✓✡✦✡❁ ❂✡⑩✡❶●✡❘✡❙✮✡✯ (❷✭✡❄✩✡❆❄ ✓✡❸✡❹) ✜✡✧✡✤✡❺✡✛ ⑧✚✰❻❈✇✰②✗✰③✰④✰✹✰❥✰❼✰❽✰✣✰✕✰✓✰❾✰❿✰➀✰❁✰❂, ➁✰➂✰❼✰✿☛✧ ● ❴✰➃✰➄✰❝② ❤✰❀ ➅ ③✡④✡➆✡✣✡❁✡❂✡✓✡➃✡✧✡➇② ✛➉➈✡➊, ✔✡✕➋♦✏✱✡③✡➌✡➍✡✾➋➎✏➏✡➐✡➑✡✛➉❱✡❲❇✡➒✡➓✡➔✡→●✡➣✡↔ ❁✰❂, ↕♣➙r⑧✚✰❻❈✰❁✰❂✰✓✰❥✰❂✰➛✰➜, ➝✰➞✰➟✰⑧✚✰❻❈✰✓✰➠✰➡✰➢✰➤✰➥✰➠✰➡✰➦✰✯, ➧✰➨➓✰➔ ➩●✡➫✡➭❁✡❂, ✷✡✫➋➙✏⑧✚✡❻❈✡➯✡③✡✓✡➲✡➳✡❺✡✛ §8.1 ➵➺➸➺➻➺➼ ➽➺➾✏➚➺➪➺➶➺➹➺➘➺➴ ➷ 1. ➬ 8–1 ☞✧✡➮✡➱➋✃✏❐, ✠✡☛❖✡❒✡❮✡❃✡❰✡✥ A ✟❰✡✥ E ✓✡Ï✡➱, ♦❄⑩✡Ð✡✒ 3 ● ✥, Ñ 1 ✥✡✗✡✷✡✦ B1,B2,B3 ♦✏✓✡⑤✡✧● ✥, Ñ 2 ✥✡✗✡✷✡✦ C1,C2, C3 ♦✏✓✡✧● ✥, Ò✡Ò✡✛ ➆Ó✥Ó❳❄ , ❊ÓÔ❒Ó❮ÓÏÓ➱, Õ☛ ➬Ö♦×✷ÓØÓ➮ÓÙÓÚ, ØÓ➮❅ ✓ÓÛÓÜÓÙÓÚ→ ✥ ❄ ✓ÓÝ✡Þ✡✛ß❖Ó✹✡à á ✧✡â A ã E ✓✡✻✡ä✡❒✡❮✡➱✡➮✡✛ ➬ 8–1 ✜ ● ❁✡❂✡✗✡❉☞ 4 ●✡❘✡❙✡å✡æ✳✡✴✡✛✢Ñ 1 ❘✡❙: ❃ A ❯✡ç, è✡✥✡✗✡àá B1 ✩ B2 ✩ B3 ✛✢Ñ 2 ❘✡❙: ❃ B1 ❯✡ç (❴✡❛✡Ñ 1 ❘✡❙✓✡✳✡✴✡é✡ê✡è✡✥☞ B1), è✡✥✡✗✡àá C1 ✩ C2; ✩✰❃ B2 ❯✰ç (❴✰❛✰Ñ 1 ❘✰❙✓✰✳✰✴✰é✰ê✰è✰✥☞ B2), è✰✥✰✗✰àá C1 ✩ C2 ✩ C3; ✩✰❃ B3 ❯✡ç (❴✡❛✡Ñ 1 ❘✡❙✓✡✳✡✴✡é✡ê✡è✡✥☞ B3); è✡✥✡✗✡àá C2 ✩ C3 ✛✢✜✡❀✡ë✡ì✡í✡î, ï ã✡Ñ 4 ❘✡❙✡ð✡✟ E ✛ ☞✡ñ✡❚✡❯ ✻✡✼✡✳✡✴, ✗✡✷✡ò✡ó A ✟ E ✓✡✱✡✲✡➱✡➮, ➂✡ô✡➇◗ â✡➱✡➮✡✓✡õ✡ö, ➧✡➨✡q❯ 1