习题四解答 1.下列数列{an}是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1+m2)an i \-n i =1+ 2 ;3)an=(-1+ ;4)an=e-m2:5) n+1 an -e-ni/ 1++2+1+n2,又lim+n2=-1,lim2=0,故an收敛, 1-n 2 1+n n→∞ lim a =-1 n→∞ n - 2)an=1+=e,又lim n2=0,故an收敛,liman=0 n→∞ 3)由于an的实部{-1发散,故an发散 n 4)由于an=ei2=cos-isin,其实部虚部数列均发散,故an发散 5) a, =Le-riz2 _Lcos nmi-sin lim-cos =0o, lim-sin=, n n 2 n→n2n→n2 故an收敛, lim=0 2.证明: [0 lak1, lima=∞, a>1, n→∞ 1 a=1 不存在,|a=1,a≠1 3.判断下列级数的绝对收敛性与收敛性: )∑:2)∑ i ;3) (6+5i) nn 84) -cos in 2 cos nnn sin 解1)由i=cos+isin, 2与∑2为收敛的交错项实级数, n n 所以∑收敛,但,故∑发散,原级数条件收敛 n 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 习题四解答 1．下列数列 { } αn 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1 ） 1 i 1 i n nn α + = − ； 2 ） i 1 ; 2 n αn − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ） i ( 1) ; 1 n n n α = − + + 4 ） ； 5 ） n i / 2 n e π α − = 1 n i / 2 n e n π α − =解 1 ） 2 2 2 1 i 1 2 i 1 i 1 1 n n n n n n n α + − = = + − + + ， 又 22 1 2 lim 1,lim 0 n n 1 1 n n →∞ n n →∞ − 2 = − = + + ， 故 αn 收敛， li m 1 n n α →∞ = − 2） i 2 1 2 5 n n i n e θ α − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，又 2 lim 0 5 n i n e − θ →∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，故 αn 收敛，li m 0 n n α →∞ = 3）由于 αn 的实部 {( 1 ) } n − 发散，故 αn 发散 4）由于 i / 2 co s i s i n 2 2 n n n n e π π π α − = = − ，其实部、虚部数列均发散，故 αn 发散 5 ） 1 1 i / 2 1 cos i si n 2 2 n n n n e n n n π π π α − = = − ，知 1 1 lim cos 0,lim s i n 0 n n 2 2 n n n n π π →∞ →∞ = = ， 故 αn 收敛， li m 0 n n α →∞ = 2．证明： 0, | | < 1 , , | | > 1 , lim 1, 1 , | | = 1 , 1 . n n αα α α α α →∞ ⎧⎪⎪ ∞ = ⎨ = ⎪⎪⎩不存在， ≠ 3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1） 1 in n n ∞=∑ ； 2） 2 i lnn n n ∞=∑ ； 3 ） 1 (6+5i ) 8 n n n∞=∑ ； 4 ） 2 co s i 2 n n n ∞=∑ 。 解 1）由i c o s i s i n 2 2 n n n π π = + ， 1 co s 2 n nn π ∞=∑ 与 1 sin 2 n nn π ∞=∑ 为收敛的交错项实级数， 所以 1 i n n n ∞=∑ 收敛，但 i 1 n n n = ，故 1 i n n n ∞=∑ 发散，原级数条件收敛； 1