三章理性消费者 从表面上看,效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化问题,支出最小化的希克斯 需求也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此。下面定理阐述了效用最大化与支出最小化 之间的对偶关系:效用最大化时支出也实现了最小化,支出最小化时也实现了效用最大化, 效用最大化与支出最小化是相互确定的。 对偶定理.设消费集合κ符合假设HC,消费者偏好<是无满足的连续凸偏好。则对任 何(P,)∈△°和(p,x)∈△n,都有 (1)若z∈D(p,r),则=∈H(p,=) (2)若z∈H(p,x),则z∈Dp,e(p,x) 从而对于理性消费者来说,马歇尔需求同希克斯需求一致即对任何(p,r)∈Δ和(p,x)∈△n 都有5(p,r)=h(p,(p,r)和H(p,x)=5(p,e(p,x)成立。 在证明这个定理之前,先对定理中的(1)与(2)的意义作一个解释。(1)的意义是说,价格 p和收入r下的马歇尔需求向量z,必然是价格p下和效用水平[]上的希克斯需求向量(如图 3-8所示)。(2)的意义是说,价格p下效用水平[x上的希克斯需求向量z,必然是价格p和 收入e(p,x)下的马歇尔需求向量(如图3-9所示) ∈D(P,F) ∈H(P,x) 预算集 预算集合 β(P,r) B(p, e(p,r) 图38马歇尔需求也是希克斯需求图39希克斯需求也是马歌尔需求 既然马歇尔需求与希克斯需求一致,即效用最大化蕴含着支出最小化,支出最小化也蕴 含着效用最大化,因此消费最优化问题既可从效用最大化出发,也可从支出最小化出发来解 决。鉴于这个原因,今后就直接从效用最大化出发来研究消费者需求。 下面来证明对偶定理 1)的证明.设∈D(p,r),欲证=∈H(p,)。用反证法,假定二不是E(=)中的最小支 出向量,则存在y∈E(-)满足py<pz。 马歇尔需求的瓦尔拉法则保证了p=r,于是py<r,说明y∈β(P,r)。既然z是 β(p,r)中的最优方案,y=。结合y∈E(=)便知,y~。这样,我们就有py<r且y~z。 偏好=的无满足性说明,存在w∈X满足y<w,当然也有z<W。z是β(p,r)中的最 优方案,而现在w比还要优,因此wgB(p,r),即r<p。于是我们得到:py<r<p。 这样,就必存在实数t∈(0,1)满足p(y+(1-1)n)=r。令*=!+(1-1)n,则p=*=r,并 且根据=的凸性和y<可知≠*>y~。这说明预算集合B(p,r)中有比最优方案二还要优 的方案=*存在,自相矛盾!可见,必须是E()中的最小支出向量,即∈H(p,=)。 (2)的证明.设∈H(P,x),则显然p=e(p,x),这说明z∈B(p,e(p,x)。欲证: z∈D(p,e(p,x)。用反证法,假定gD(p,C(P,x),则存在y∈B(p,e(p,x)满足y>二。 注意,y∈E(x),而z在E(x)中支出最小,故py≥p=e(p,x)。结合y∈B(p,e(p,x)可 知py=e(p,x)=p,所以y也是E(x)中支出最小的方案,即y∈H(p,x)。由于支出最小化 保持当前效用水平不变,因此y~x~2。我们得到了矛盾的结论:y>z的同时y~z。可见 反证法的假定zgD(P,(p,x)不能成立,故只有=∈D(p,e(p,x)第三章 理性消费者 47 从表面上看，效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化问题，支出最小化的希克斯 需求也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此。下面定理阐述了效用最大化与支出最小化 之间的对偶关系：效用最大化时支出也实现了最小化，支出最小化时也实现了效用最大化， 效用最大化与支出最小化是相互确定的。 对偶定理. 设消费集合 X 符合假设 HC，消费者偏好 是无满足的连续凸偏好。则对任 何  ( p,r) 和 H ( p, x) ，都有 (1) 若 zD( p,r), 则 zH( p,z) ； (2) 若 zH( p, x), 则 zD( p,e( p, x))。 从而对于理性消费者来说，马歇尔需求同希克斯需求一致，即对任何  ( p,r) 和 H ( p, x) ， 都有 ( p,r) = h( p,( p,r)) 和 h( p, x) =( p,e( p, x)) 成立。 在证明这个定理之前，先对定理中的(1)与(2)的意义作一个解释。(1)的意义是说，价格 p 和收入 r 下的马歇尔需求向量 z ，必然是价格 p 下和效用水平 [z] 上的希克斯需求向量(如图 3-8 所示)。(2)的意义是说，价格 p 下效用水平 [x] 上的希克斯需求向量 z ，必然是价格 p 和 收入 e( p, x) 下的马歇尔需求向量(如图 3-9 所示)。 既然马歇尔需求与希克斯需求一致，即效用最大化蕴含着支出最小化，支出最小化也蕴 含着效用最大化，因此消费最优化问题既可从效用最大化出发，也可从支出最小化出发来解 决。鉴于这个原因，今后就直接从效用最大化出发来研究消费者需求。 下面来证明对偶定理。 (1)的证明. 设 zD( p,r) ，欲证 zH( p,z) 。用反证法，假定 z 不是 E(z) 中的最小支 出向量，则存在 yE(z) 满足 py  pz 。 马歇尔需求的瓦尔拉法则保证了 pz = r ，于是 py  r ，说明 y( p,r) 。既然 z 是 ( p,r) 中的最优方案， y z 。结合 yE(z) 便知， y z 。这样，我们就有 py  r 且 y z 。 偏好 的无满足性说明，存在 w X 满足 y  w ，当然也有 z w。 z 是 ( p,r) 中的最 优方案，而现在 w 比 z 还要优，因此 w( p,r) ，即 r  pw 。于是我们得到： py  r  pw 。 这样，就必存在实数 t (0,1) 满足 p(ty + (1− t)w) = r 。令 z*= ty + (1− t)w ，则 pz* = r ，并 且根据 的凸性和 y  w 可知 z* y z 。这说明预算集合 ( p,r) 中有比最优方案 z 还要优 的方案 z * 存在，自相矛盾！可见， z 必须是 E(z) 中的最小支出向量，即 zH( p,z) 。 (2)的证明. 设 zH( p, x) ，则显然 pz = e( p, x) ，这说明 z( p,e( p, x)) 。欲证： zD( p,e( p, x)) 。用反证法，假定 zD( p,e( p, x)) ，则存在 y( p, e( p, x)) 满足 y  z 。 注意， yE(x) ，而 z 在 E(x) 中支出最小，故 py  pz = e( p, x) 。结合 y( p, e( p, x)) 可 知 py = e( p, x) = pz ，所以 y 也是 E(x) 中支出最小的方案，即 yH( p, x) 。由于支出最小化 保持当前效用水平不变，因此 y x z 。我们得到了矛盾的结论： y  z 的同时 y z 。可见 反证法的假定 zD( p,e( p, x)) 不能成立，故只有 zD( p,e( p, x))。 • x zD( p,r) zH( p, x) 预算集合 预算集合 ( p,r) [z] ( p, e( p,x)) [x] 图 3-8 马歇尔需求也是希克斯需求 图 3-9 希克斯需求也是马歇尔需求