上述例子说明了“点态收敛”不可能对所提出的函数项级数的基本问题给以 肯定的回答,为此我们需要引进一种比“点态收敛”要求更强的收敛概念 (3)函数项级数(或函数序列)的一致收敛性 所谓“函数序列{Sx)在集合D上(点态)收敛于S(x)”是指:对于任意x∈D, 数列{S(x)}收敛于S(xo),用“ε-N”语言来表示的话,就是:对任意给定的e >0,可以找到自然数N=N(x0,e),当n>N时,成立 其中N(x,e)不仅与E有关,而且与xo∈D有关。一般来说,Nx,e)随着xo的变化 而变化,这反映了S(x)在集合D的不同点上收敛于S(x)的速度不同。现在的问题 是:能否找到与x0无关,而仅与D有关的N=M(e),使得当n>N时, S(x)-Sx)|< 对一切x∈D成立?如果这样的N(ε)能够找到,则反映了{SAx)}不仅在D上点态收 敛于S(x),而且收敛速度在D上具有某种整体一致性。这种收敛,我们称之为一 致收敛。 定义设{S(x)},x∈D,是一函数序列,若对任意给定的ε>0,存在仅与D 有关的自然数N(E),当n>Ne)时, lS(x)-S(x)|<ε 对一切x∈D成立,则称{SAx)}在D上一致收敛于S(x),记为S(x)→S(x)。 符号表述:SA(x)→S(x)台VE>0,彐N,Vn>N,x∈D: SA(x)-S(x)|<ε. 定义若函数项级数∑un(x),x∈D,的部分和函数序列{Sx)},Sx)= ∑u4(x),在D一致收敛于x),则称∑u1(x)在D上一致收敛于S(x) 符号表述:∑un(x)在D上一致收敛于Sx)分e>0,彐N,Vn>N,x∈D ∑u2(x)-Sx)|=|S(x)-Sx)|<e。 一致收敛性的几何描述:对任意给定的e>0,存在N=N(e),当n>N(e) 时,函数y=S(x),x∈D,的图象都落在带状区域 (x,y)|x∈D,S(x)-e 之中(图象演示)。 例5设Sn1+3,则Sx)在(e,+∞)收敛于极限函数S(x)=0。 I S(x)-S(x)I=上述例子说明了“点态收敛”不可能对所提出的函数项级数的基本问题给以 肯定的回答，为此我们需要引进一种比“点态收敛”要求更强的收敛概念。 （3） 函数项级数(或函数序列)的一致收敛性 所谓“函数序列{Sn(x)}在集合D上(点态)收敛于S(x)”是指：对于任意x0∈D ， 数列{Sn(x)}收敛于S(x0)，用“ε－N”语言来表示的话，就是：对任意给定的ε ＞0，可以找到自然数N = N (x0,ε)，当n＞N时，成立： │Sn(x0) - S(x0)│＜ε， 其中N(x0,ε)不仅与ε有关，而且与x0∈D有关。一般来说，N(x0,ε)随着x0的变化 而变化，这反映了Sn(x)在集合D 的不同点上收敛于S(x)的速度不同。现在的问题 是：能否找到与x0无关，而仅与D有关的N = N(ε)，使得当n＞N时， │Sn(x) - S(x)│＜ε 对一切x∈D成立?如果这样的N(ε)能够找到，则反映了{Sn(x)}不仅在D上点态收 敛于S(x)，而且收敛速度在D上具有某种整体一致性。这种收敛，我们称之为一 致收敛。 定义 设{Sn(x)}，x∈D，是一函数序列，若对任意给定的ε＞0，存在仅与D 有关的自然数N(ε)，当n＞N(ε)时， │Sn(x) - S(x)│＜ε 对一切x∈D成立，则称{Sn(x)}在D上一致收敛于S(x)，记为Sn(x) S(x)。 D ⇒ 符号表述：Sn(x) S(x) ⇔ ∀ε＞0，∃ N， ∀n＞N，∀x∈D ： D ⇒ │Sn(x) - S(x)│＜ε. 定义 若函数项级数 ∑ ，x∈D，的部分和函数序列{S ∞ =1 )( n n xu n(x)}，Sn(x) = ∑ ，在D一致收敛于S(x)，则称∑ 在D上一致收敛于S(x)。 = n k k xu 1 )( ∞ =1 )( n n xu 符号表述：∑ 在 D 上一致收敛于 S(x) ⇔ ∀ε＞0，∃ N， ∀n＞N，∀x∈D ： ∞ =1 )( n n xu │∑ - S(x)│ = │S = n k k xu 1 )( n(x) - S(x)│＜ε。 一致收敛性的几何描述：对任意给定的ε＞0，存在N＝N(ε)，当n＞N(ε) 时，函数y = Sn(x)，x∈D，的图象都落在带状区域 {(x，y)│x∈D，S(x) -ε ＜ y ＜ S(x) +ε＝ 之中（图象演示）。 例 5 设Sn = 22 1 n x x + ，则{Sn(x)}在(-∞，+∞)收敛于极限函数S(x) = 0。 │Sn(x) - S(x)│ = 22 1 || n x x + ≤ 2n 1