第十章双线性函数与辛空间 §1线性函数 定义1设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,如果f满 足 1)f(a+B)=f(a)+f(B); 2)f(ka)=kf(a), 式中a,B是V中任意元素,k是P中任意数,则称f为V上的一个线性函数 从定义可推出线性函数的以下简单性质: 设∫是V上的线性函数,则f(O)=0,f(-a)=-f(a) 2.如果B是a1a2…a,的线性组合: B=k,a,+k,a 那么 f(B)=k1f(a1)+k2f(a2)+…+k,f(a,) 例1设a1,a2…,an是P中任意数,X=(x xn)是P中的向量函数 f(X)=f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a2x2+…+anxn 就是P上的一个线性函数当a1=a2=…=an=0时,得f(X)=0,称为零函数, 仍用0表示零函数 实际上,Pn上的任意一个线性函数都可以表成这种形式 第i个 P中任一向量X=(x1,x2…,x)可表成 X 设∫是P”上一个线性函数,则第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义 1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， f 是 V 到 P 的一个映射，如果 f 满 足 1） f ( +  ) = f () + f ( ) ; 2） f (k) = kf (), 式中 ,  是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设 f 是 V 上的线性函数，则 f (0) = 0, f (−) = − f () . 2. 如果  是    s , , , 1 2  的线性组合： s s  = k11 + k2 2 ++ k  那么 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 s s f  = k f  + k f  ++ k f  例 1 设 a a an , , , 1 2  是 P 中任意数， ( , , , ) 1 2 n X = x x  x 是 n P 中的向量.函数 n n n f X = f x x  x = a x + a x ++ a x 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , , , ) (1) 就是 P 上的一个线性函数.当 a1 = a2 == an = 0 时，得 f (X ) = 0 ,称为零函数， 仍用 0 表示零函数. 实际上， n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令  i = (0 ,  ,0,1, 0,  ,0), i =1, 2 ,  , n . 第 i 个 n P 中任一向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x  x 可表成 n n X = x  + x  ++ x  1 1 2 2 . 设 f 是 n P 上一个线性函数，则