数学归纳法的逻辑意义 数学归纳法是我们所学过的关于数学论证的一种行之有效的有利论证工具。然而,一天 我却在网上看到这样的论证: 1、“饭永远吃不饱!”证明如下: n=1时,1粒饭绝对吃不饱,n=1成立 设nk时成立 =k+1时,k粒饭吃不饱,多吃一粒也吃不饱的啦,n=k+1成立 所以,对所有自然数n,都有n粒饭吃不饱 2、“不用吃饭也会饱!”证明如下 有一天吃饱了,→n=k粒饭吃饱, k is limited n=k-1时,k粒饭吃饱,少吃一粒也吃得饱啦,n=k-1成立 由数学归纳法知,n=0时也吃得饱,保证不吃饭也会饱 3、“每个人都是秃头”证明如下: n=1时,1根头发是秃头,n=1成立 设n=k时是秃头 n=k+1时,k根头发是秃头,多长一根头发也是秃头啦,n=k+1成立 由数学归纳法知:每个人都是秃头 4、“我永远不会胖”证明如下: n=1时,我一公斤时不胖,n=1成立 设nk时不胖 n=k+1时,我k公斤时不胖,多一公斤我还是不胖啦,n=k+1成立 由数学归纳法知:我不胖 5、“你永远都是那么胖!”证明如下: =1时,你一餐不吃是那么胖,n=1成立 设n=k时,你k餐不吃还是那么胖 n=k+1时,你k餐不吃时是那么胖,那在多一餐不吃还是很胖啦 由数学归纳法得知:你不用减肥了,因为没用 实际上这根本就不能称之为数学归纳法的论证 数学归纳法是一种完全归纳法。人们的思维过程有两个完全相反的过程,一个是从特殊 到一般的思维活动,另一个是从一般到特殊的思维活动,前一个称为归纳,后一个称为演绎 所谓归纳法:是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究,从而导出一般性结论的 方法。这种方法的主要步骤为:收集素材(观察、试验研究对象)一一归类整理一一分析概 括一一形成猜想。 归纳法可分为三种,一种是完全归纳法:在考察了某类中的每一个对象具有或不具有某 一性质的基础上,得出该类全部对象具有或不具有该属性的结论:一种是不完全归纳法:在 考察某类中的部分对象具有或不具有某一属性并在考察过程中未遇到反例的基础上,得出该 类全部对象具有或不具有该属性的结论:;另一种是典型归纳推理:只考察某类中的极少数对 象,将它们作为典型,有典型事例是否具有某一属性,得出该类对象具有或不具有该属性的 结论。从前提与结论的联系程度来看:完全归纳法具有必然性,而后两者具有偶然性 根据对某一事物中每一对象都具有的某种属性的考察,而推出这类事物全体都有这种属 性的结论,这种推理方法叫做完全归纳法。数学上经常使用完全归纳法来证明这样一类命题, 这种类型的命题按其条件可以分为若干种不同的情况,在每种情况下都要考察不同的因素或 采用不同的手法才能使命题获证,当且仅当在所有不同的情况下命题都成立,整个命题才成数学归纳法的逻辑意义 数学归纳法是我们所学过的关于数学论证的一种行之有效的有利论证工具。然而，一天 我却在网上看到这样的论证： 1、“饭永远吃不饱！” 证明如下： n=1 时，1 粒饭绝对吃不饱，n=1 成立 设 n=k 时成立 n=k+1 时，k 粒饭吃不饱，多吃一粒也吃不饱的啦，n=k+1 成立 所以，对所有自然数 n，都有 n 粒饭吃不饱 2、“不用吃饭也会饱！” 证明如下： 有一天吃饱了，→n=k 粒饭吃饱，k is limited n=k-1 时，k 粒饭吃饱，少吃一粒也吃得饱啦，n=k-1 成立 由数学归纳法知，n=0 时也吃得饱，保证不吃饭也会饱 3、“每个人都是秃头” 证明如下： n=1 时，1 根头发是秃头，n=1 成立 设 n=k 时是秃头 n=k+1 时，k 根头发是秃头，多长一根头发也是秃头啦，n=k+1 成立 由数学归纳法知：每个人都是秃头 4、“我永远不会胖” 证明如下： n=1 时，我一公斤时不胖，n=1 成立 设 n=k 时不胖 n=k+1 时，我 k 公斤时不胖，多一公斤我还是不胖啦，n=k+1 成立 由数学归纳法知：我不胖 5、“你永远都是那么胖！” 证明如下： n=1 时，你一餐不吃是那么胖，n=1 成立 设 n=k 时，你 k 餐不吃还是那么胖 n=k+1 时，你 k 餐不吃时是那么胖，那在多一餐不吃还是很胖啦 由数学归纳法得知：你不用减肥了，因为没用。 实际上这根本就不能称之为数学归纳法的论证。 数学归纳法是一种完全归纳法。人们的思维过程有两个完全相反的过程，一个是从特殊 到一般的思维活动，另一个是从一般到特殊的思维活动，前一个称为归纳，后一个称为演绎。 所谓归纳法：是指通过对特殊的、具体的事物的分析、认识、研究，从而导出一般性结论的 方法。这种方法的主要步骤为：收集素材（观察、试验研究对象）一一归类整理一一分析概 括一一形成猜想。 归纳法可分为三种，一种是完全归纳法：在考察了某类中的每一个对象具有或不具有某 一性质的基础上，得出该类全部对象具有或不具有该属性的结论；一种是不完全归纳法：在 考察某类中的部分对象具有或不具有某一属性并在考察过程中未遇到反例的基础上，得出该 类全部对象具有或不具有该属性的结论；另一种是典型归纳推理：只考察某类中的极少数对 象，将它们作为典型，有典型事例是否具有某一属性，得出该类对象具有或不具有该属性的 结论。从前提与结论的联系程度来看：完全归纳法具有必然性，而后两者具有偶然性。 根据对某一事物中每一对象都具有的某种属性的考察，而推出这类事物全体都有这种属 性的结论，这种推理方法叫做完全归纳法。数学上经常使用完全归纳法来证明这样一类命题， 这种类型的命题按其条件可以分为若干种不同的情况，在每种情况下都要考察不同的因素或 采用不同的手法才能使命题获证，当且仅当在所有不同的情况下命题都成立，整个命题才成