体积形态连续介质有限变形理论-变形刻画 谢锡麟 由于F I,可有 因此有 F 可得 F|F+|FF=(OI-L)·(FF- 综上,可有 aXx2|(A)=B.aX、ax (A,p) 13.4第四类当前物理构型中有向线元与面元模的物质导数同其之间的关系式 性质15(当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式) X (入)=(7·D·T) d入 (入) Ox aX Ox aX 0z/(x,u)=(0-n:D.n) a入a 此处D生+称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量:r和n分别表示有向 线元的指向以及有向面元的单位法向量 证明本性质证明主要利用性质1.2,变形梯度基本性质1.1以及张量点积求导的 Leibniz性. 1.考虑 d入 ()=()·F,F·(入), d入 以及 F·F=F·F+F*·F=(L·F)·F+F*·(L·F) F·L*F+F*·LF=2F·D·F, 则有 (入) d入有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画 谢锡麟 由于 F ∗ · F −∗ = I, 可有 ˙ F ∗ · F −∗ + F ∗ · ˙ F −∗ = 0, 因此有 ˙ F −∗ = −F −∗ · ˙ F ∗ · F −∗ = −F −∗ · (L · F) ∗ · F −∗ = −L ∗ · F −∗ . 可得 ˙ |F|F −∗ + |F| ˙ F −∗ = (θI − L ∗ ) · (|F|F −∗). 综上, 可有  ˙  ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ  (λ, µ) = B ·   ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ   (λ, µ). 1.3.4 第四类 当前物理构型中有向线元与面元模的物质导数同其之间的关系式 性质 1.5 (当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式). 1. ˙       d t X dλ       R3 (λ) = (τ · D · τ )       d t X dλ       R3 (λ); 2. ˙       ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ       R3 (λ, µ) = (θ − n · D · n)       ∂ t X ∂λ × ∂ t X ∂µ       R3 (λ, µ). 此处 D , L + L ∗ 2 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量; τ 和 n 分别表示有向 线元的指向以及有向面元的单位法向量. 证明 本性质证明主要利用性质1.2, 变形梯度基本性质1.1以及张量点积求导的 Leibniz 性. 1. 考虑       d t X dλ       2 R3 (λ) = d ◦ X dλ (λ) · F ∗ · F · d ◦ X dλ (λ), 以及 ˙ F ∗ · F = F˙ ∗ · F + F ∗ · F˙ ∗ = (L · F) ∗ · F + F ∗ · (L · F) = F ∗ · L ∗ · F + F ∗ · L · F = 2F ∗ · D · F, 则有 2       d t X dλ       R3 (λ) ˙       d t X dλ       R3 (λ) = 2d t X dλ (λ) · D · d t X dλ (λ). 7