例3.32计算InNn"xdx,其中n为非负整数 解显然 11 而对n≥2,有 dx=sin” xsin xdx =-sin-lxcos2+(n-D2sirxcosxd n)。 由此,可得递推关系 n 结合l0和1的结果,可得n≥2时, 为偶数 n(n-2)…22 (n-1)(n-3)…2 n为奇数 n(n-2)…3 换元积分法 从不定积分的换元法转换到定积分的换元法,要特别注意积分上、下限的对 应关系 定理3.3.2设∫是[a,b上的连续函数,口是定义于a和B间的具有连续导 数的函数,其值域包含于[a,b,且a=(a),b=以(B)。则 ∫r(x)tx=∫/no(o 证因为函数∫连续,故存在原函数,设F'=f,于是 F[(1)=f(D)kp(t) 即F[o(O)是/o(t)lo'()的原函数。由 Newton- Leibniz公式,可得 f(xdx= F(b)-F(a) 和 ∫。几(=()-F1o(a)=F(b)-F(a) 所以上述两个积分相等 例3.3.3求半径为r的圆的面积。 解设圆的中心在原点。由对称性,只须求出它在第一象限部分的面积。圆 周在第一象限部分的方程为例 3.3.2 计算   2 0 sin  I xdx n n ，其中 n 为非负整数。 解 显然，    2 0 0 0 2 sin   I xdx ，      2 0 2 1 0 sin cos 1   I xdx x 。 而对 n  2 ，有      2 0 2 0 1 sin sin sin   I xdx x xdx n n n        2 0 2 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos   x x n x n n xdx n x x dx n ( 1) sin (1 sin ) 2 2 0 2       ( 1)( ) n 2 n  n  I  I  。 由此，可得递推关系 2 1   n  n I n n I ， n  2。 结合 0 I 和 1 I 的结果，可得 n  2 时，                , ( 2) 3 ( 1)( 3) 2 , ( 2) 2 2 ( 1)( 3) 1     n n n n n n n n I n  . , 为奇数 为偶数 n n 二．换元积分法 从不定积分的换元法转换到定积分的换元法，要特别注意积分上、下限的对 应关系。 定理 3.3.2 设 f 是 [a,b] 上的连续函数，  是定义于  和  间的具有连续导 数的函数，其值域包含于 [a,b] ，且 a () ，b () 。则     b a f x dx f t t dt   ( ) [( )] ( ) 。 证 因为函数 f 连续，故存在原函数，设 F  f ，于是 F[ (t)] f [ (t)] (t) dt d     ， 即 F[(t)] 是 f[(t)](t) 的原函数。由 Newton-Leibniz 公式，可得    b a f (x)dx F(b) F(a) 和         f[(t)] (t)dt F[()] F[()] F(b) F(a)。 所以上述两个积分相等。 例 3.3.3 求半径为 r 的圆的面积。 解 设圆的中心在原点。由对称性，只须求出它在第一象限部分的面积。圆 周在第一象限部分的方程为