·368· 智能系统学报 第12卷 g.（x)=ug.（y)且h(x)>hi(y)时，则P(E.(x)> 定选择项目x5进行投资。这结果与文献[36]是一 E.(y))=1; 致的。同时由于α的取值可以根据需要进行改变， 2)当uE(x)E(y）且h(x)≤h(y）,或E.(x) 从而可以更加灵活地进行决策。 e,(y)且h(x)h(y)时，则P(E(x)>E.(y）)=0: 表2P:的可能值 Table 2 The possible value P 3)除以上两种情况外，P(E.(x)>E。(y)= 2 X2 显然，P(E(x)>E.(y)满足下列性质： 0.5 2.5 1 4 P(E.(x)>E.(y))+P(E.(y)>E.(x)=1。 0.6 1.5 1.5 1.5 4 以下为采用文献[36]所举的例子。 0.7 2.5 2.5 0.5 3.5 4.5 例5设某一投资公司可对5个能源项目x: 0.8 2.5 1.5 0.5 3.5 4.5 (i=1,2,…,5)进行投资，几位专家分别按照4个评 0.9 3 1.5 0.5 4.5 价指标（属性）来进行评估，这4个指标包括技术 5.2HFS的a-截集在聚类分析中的应用 (E,)、环境(E2)、社会政策(E3)和经济状况(E4), Chen【us]和Liao]都曾讨论过犹豫模糊环境下 各指标的权重向量为w=(0.15,0.3,0.2,0.35)。已 的聚类算法，他们的算法都是需要先通过某种犹豫 知专家的评估结果用下列犹豫模糊决策矩阵表示， 模糊数的相似测度度量构建相关矩阵，从而进行聚 如表1所示 表1投资评估结果 类。本文采取的原理是通过截集将HFS转换成 T1FS,将犹豫模糊数聚类问题转换成经典模糊数聚 Table 1 Evaluation results of investment 类问题，从而使问题解决变得简单。 E E2 E E 例6上市公司的经营绩效是公司金融领域的 {0.5.0.4. {0.9.0.8, {0.5.0.4. {0.9.0.6.0.5.0.3 研究热点。例如，研究农业类上市公司的经营绩 0.3} 0.7.0.1} 0.2} 效，可通过考察其盈利能力(A)、偿债能力(A,)、营 10.9.0.7.06.{0.8.0.6. x2{0.5,0.3 {0.7.0.5,0.4} 运能力(A)、成长能力(A,)和股本扩张能力(A) 0.5,0.2} 0.5.0.1} 等]情况获得。本例中基于这5个指标对国内十 {0.7,0.5 x3{0.7,0.6 10.9.0.6 {0.6.0.4 家农业类上市公司x,(i=1,2,…,10)的经营绩效进 0.3} 行聚类分析。不同专家对这些公司关于这5个指标 {0.8,0.7 10.7,0.4. {0.8.0.1} {0.9.0.8.0.6 的考核也有不同的评价。现对他们的评价值采用 0.4,0.3} 0.2 犹豫模糊集的形式给出，如表3。 {0.9.0.7. {0.8.0.7. 0.9.0.8. {0.9.0.7. 表3经营绩效评估结果 06.03.01 0.6.0.4} 0.7} 0.6.0.3} Table 3 Evaluation results of business performance 具体算法如下： A A A A 1)给定a∈[0,1]，任意x∈X,计算 x1{0.4.0.6}{0.6.0.8}10.2,0.3}{0.3,0.4}{06.07.09 E)=三u,ha（),h)=三oh(。 x2{03,04,05{0.4,0.5}10.8} {0.5} {0.2,0.3} x310.5,0.7}{0.9} 10.3,0.4}10.3 {0.8,0.9 2)根据定义13，令P=P(E.(x;)>E.(x), x404,0.5,0610.2,0.3}10.9,1}{0.5} {0304,05 得到可能度矩阵P=(Pg)sx5。 x3{0.9,110.7,0.8}10.4,0.5}10.5,0.6}{0.7} 3)令P,=∑P得每个项目的可能值，则可按照 x6{0.8,1}{0.8,110.4,0.610.8} {0.7.0.8} =1 P:从大到小顺序来决定方案。 x7{103,04,05H0.8,0.9}0.7,0.9}{0.1,0.2}{0.9,1 本例所得P:大小如表2所示，从该表中不难发 xg{0.61 {0.7.0.9}10.8 10.3.0.4}10.4.0.7} 现，随着α取值不同，P:的大小顺序并不完全一致。 xg{0.9} {0.6,0.7}10.5,0.8}{1} 107,08,09 但总体来看x,的评分都是最高的，所以我们可以认 x10{0.4,0.6}{1 {0.6,0.7}{0.2.0.3}{0.9,1μＥα （ｘ）＝ μＥα （ ｙ） 且 ｈ ＋ Ｅ （ ｘ） ＞ｈ ＋ Ｅ （ ｙ） 时，则 Ｐ（Ｅα （ ｘ） ＞ Ｅα（ｙ））＝ １； ２）当 μＥα （ｘ）＜μＥα （ｙ）且 ｈ ＋ Ｅ（ｘ）≤ｈ ＋ Ｅ（ｙ），或 μＥα （ｘ）＝ μＥα （ｙ）且 ｈ ＋ Ｅ（ｘ）＜ｈ ＋ Ｅ（ｙ）时，则 Ｐ（Ｅα（ｘ）＞Ｅα（ｙ））＝ ０； ３）除以上两种情况外，Ｐ（Ｅα（ｘ）＞Ｅα（ｙ））＝ １ ２ 。 显然，Ｐ（Ｅα（ｘ）＞Ｅα（ｙ））满足下列性质： Ｐ（Ｅα（ｘ） ＞ Ｅα（ｙ）） ＋ Ｐ（Ｅα（ｙ） ＞ Ｅα（ｘ）） ＝ １。 以下为采用文献［３６］所举的例子。 例 ５ 设某一投资公司可对 ５ 个能源项目 ｘｉ （ｉ ＝ １，２，…，５）进行投资，几位专家分别按照 ４ 个评 价指标（属性） 来进行评估，这 ４ 个指标包括技术 （Ｅ１ ）、环境（Ｅ２ ）、社会政策（Ｅ３ ）和经济状况（Ｅ４ ）， 各指标的权重向量为 ω ＝ （０．１５，０．３，０．２，０．３５）。 已 知专家的评估结果用下列犹豫模糊决策矩阵表示， 如表 １ 所示． 表 １ 投资评估结果 Ｔａｂｌｅ １ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ Ｘ Ｅ１ Ｅ２ Ｅ３ Ｅ４ ｘ１ ｛０．５，０．４， ０．３｝ ｛０．９，０．８， ０．７，０．１｝ ｛０．５，０．４， ０．２｝ ｛０．９，０．６，０．５，０．３ ｘ２ ｛０．５，０．３｝ ｛０．９，０．７，０．６， ０．５，０．２｝ ｛０．８，０．６， ０．５，０．１｝ ｛０．７，０．５，０．４｝ ｘ３ ｛０．７，０．６｝ ｛０．９，０．６｝ ｛０．７，０．５， ０．３｝ ｛０．６，０．４｝ ｘ４ ｛０．８，０．７， ０．４，０．３｝ ｛０．７，０．４， ０．２｝ ｛０．８，０．１｝ ｛０．９，０．８，０．６｝ ｘ５ ｛０．９，０．７， ０．６，０．３，０．１｝ ｛０．８，０．７， ０．６，０．４｝ ｛０．９，０．８， ０．７｝ ｛０．９，０．７， ０．６，０．３｝ 具体算法如下： １）给定 α∈［０，１］，任意 ｘ∈Ｘ，计算 Ｅα（ｘ） ＝ ∑ ４ ｋ ＝ １ ωｋ μＥｋα （ｘ），ｈ ＋ Ｅ （ｘ） ＝ ∑ ４ ｋ ＝ １ ωｋｈ ＋ Ｅｋ （ｘ）。 ２） 根据定义 １３，令 ｐｉｊ ＝ Ｐ（Ｅα（ｘｉ） ＞ Ｅα（ｘｊ））， 得到可能度矩阵 Ｐ ＝ （ｐｉｊ）５×５ 。 ３） 令ｐｉ ＝∑ ５ ｊ ＝ １ ｐｉｊ 得每个项目的可能值，则可按照 ｐｉ 从大到小顺序来决定方案。 本例所得 ｐｉ 大小如表 ２ 所示，从该表中不难发 现，随着 α 取值不同，ｐｉ 的大小顺序并不完全一致。 但总体来看 ｘ５ 的评分都是最高的，所以我们可以认 定选择项目 ｘ５ 进行投资。 这结果与文献［３６］ 是一 致的。 同时由于 α 的取值可以根据需要进行改变， 从而可以更加灵活地进行决策。 表 ２ ｐｉ 的可能值 Ｔａｂｌｅ ２ Ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅ ｐｉ α ｘ１ ｘ２ ｘ３ ｘ４ ｘ５ ０．５ ２．５ １ １ ４ ４ ０．６ １．５ １．５ １．５ ４ ４ ０．７ ２．５ ２．５ ０．５ ３．５ ４．５ ０．８ ２．５ １．５ ０．５ ３．５ ４．５ ０．９ ３ １．５ ０．５ ３ ４．５ ５．２ ＨＦＳ 的 α－截集在聚类分析中的应用 Ｃｈｅｎ ［１８］和 Ｌｉａｏ ［３７］都曾讨论过犹豫模糊环境下 的聚类算法，他们的算法都是需要先通过某种犹豫 模糊数的相似测度度量构建相关矩阵，从而进行聚 类。 本文采取的原理是通过截集将 ＨＦＳ 转换成 Ｔ１ＦＳ，将犹豫模糊数聚类问题转换成经典模糊数聚 类问题，从而使问题解决变得简单。 例 ６ 上市公司的经营绩效是公司金融领域的 研究热点。 例如，研究农业类上市公司的经营绩 效，可通过考察其盈利能力（Ａ１ ）、偿债能力（Ａ２ ）、营 运能力（ Ａ３ ）、成长能力（ Ａ４ ） 和股本扩张能力（ Ａ５ ） 等［３８］情况获得。 本例中基于这 ５ 个指标对国内十 家农业类上市公司 ｘｉ（ｉ ＝ １，２，…，１０）的经营绩效进 行聚类分析。 不同专家对这些公司关于这 ５ 个指标 的考核也有不同的评价。 现对他们的评价值采用 犹豫模糊集的形式给出，如表 ３。 表 ３ 经营绩效评估结果 Ｔａｂｌｅ ３ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｂｕｓｉｎｅｓｓ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ Ｘ Ａ１ Ａ２ Ａ３ Ａ４ Ａ５ ｘ１ ｛０．４，０．６｝ ｛０．６，０．８｝ ｛０．２，０．３｝ ｛０．３，０．４｝ ｛０．６，０．７，０．９｝ ｘ２ ｛０．３，０．４，０．５｝｛０．４，０．５｝ ｛０．８｝ ｛０．５｝ ｛０．２，０．３｝ ｘ３ ｛０．５，０．７｝ ｛０．９｝ ｛０．３，０．４｝ ｛０．３｝ ｛０．８，０．９｝ ｘ４ ｛０．４，０．５，０．６｝｛０．２，０．３｝ ｛０．９，１｝ ｛０．５｝ ｛０．３，０．４，０．５｝ ｘ５ ｛０．９，１｝ ｛０．７，０．８｝ ｛０．４，０．５｝ ｛０．５，０．６｝ ｛０．７｝ ｘ６ ｛０．８，１｝ ｛０．８，１｝ ｛０．４，０．６｝ ｛０．８｝ ｛０．７，０．８｝ ｘ７ ｛０．３，０．４，０．５｝｛０．８，０．９｝ ｛０．７，０．９｝ ｛０．１，０．２｝ ｛０．９，１｝ ｘ８ ｛０．６｝ ｛０．７，０．９｝ ｛０．８｝ ｛０．３，０．４｝ ｛０．４，０．７｝ ｘ９ ｛０．９｝ ｛０．６，０．７｝ ｛０．５，０．８｝ ｛１｝ ｛０．７，０．８，０．９｝ ｘ１０ ｛０．４，０．６｝ ｛１｝ ｛０．６，０．７｝ ｛０．２，０．３｝ ｛０．９，１｝ ·３６８· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷