§7多项式函数 到目前为止,我们始终是纯形式地讨论多项式,也就是把多项式看作形式表 达式.在这一节,将从另一个观点,即函数的观点来考察多项式 多项式函数 设 f(x) +an-1x"-1+…+a1x+a (1 是Px]中的多项式,a是P中的数,在(1)中用a代x所得的数 +…+a,C+a 称为f(x)当x=a时的值,记为f(a)这样,多项式f(x)就定义了一个数域上的函 数可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数 因为x在与数域P中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律,所以 不难看出,如果 h2(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)g(x), 那么 h2(a)=f(a)+g(a),h2(a)=f(a)g(a) 定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式f(x),所得的余式是一个常数, 这个常数等于函数值f(a 如果f(x)在x=a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(x)的一个根或零点 由余数定理得到根与一次因式的关系 推论a是f(x)的根的充要条件是(x-a)|f(x) 由这个关系,可以定义重根的概念.a称为f(x)的k重根,如果(x-a)是 f(x)的k重因式当k=1时,a称为单根;当k>1时,a称为重根 定理8P[x中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个,重根按重 数计算 、多项式相等与多项式函数相等的关系§7 多项式函数 到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表 达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式. 一、多项式函数 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − −  (1) 是 P[x] 中的多项式，  是 P 中的数，在(1)中用  代 x 所得的数 1 0 1 a a 1 a a n n n n + + + + −  −    称为 f (x) 当 x = 时的值,记为 f ().这样，多项式 f (x) 就定义了一个数域上的函 数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数. 因为 x 在与数域 P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以 不难看出，如果 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , 1 2 h x = f x + g x h x = f x g x 那么 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) . h1  = f  + g  h2  = f  g  定理 7(余数定理)用一次多项式去除多项式 f (x) ，所得的余式是一个常数， 这个常数等于函数值 f (). 如果 f (x) 在 x = 时函数值 f () = 0 ，那么  就称为 f (x) 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系. 推论  是 f (x) 的根的充要条件是 (x −) | f (x) . 由这个关系，可以定义重根的概念.  称为 f (x) 的 k 重根，如果 (x −) 是 f (x) 的 k 重因式.当 k =1 时，  称为单根；当 k 1 时，  称为重根. 定理 8 P[x] 中 n 次多项式 (n  0) 在数域 P 中的根不可能多于 n 个，重根按重 数计算. 二、多项式相等与多项式函数相等的关系