第四章导数的应用 lim( cot x)=lim sn x-x cos x sin x+xcosx sin x-xcos x =lim sin x x sIn x =lim sin x+rcosx sin x-x cos x sin x x→0 其中第一个极限容易求出 lim sin x+ X cos x=2 x→0 sin x 用洛比塔法则求第二个极限 lim sinx-xcosx=lim xsIn x x→02 xsin x+x2cosx 分子与分母同除以xsnx,得到 xsin x =lim x→02xsnx+x2cosx COS x 2+lim COSx x→0Smx 注:由这个极限的运算过程可以看出,求不定式极限不一定仅仅运 用洛比塔法则,综合运用洛比塔法则与极限,可以数运算过程得到简 例5:求极限im( 解:先求右极限Im(温x)=cox这是1型不定式极限 sin x 令y 则ln In( 1-coS x In(sin x)-l hn x Im In y= lm o'1-cosx lim xcoSx-sin x sin x 1 即,ln -cosx=lim y=e 因为( smx)=x是偶函数 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 2 2 2 2 0 2 2 0 sin cos cot ) lim 1 lim ( x x x x x x x x − − = → → x x x x x x x x x x sin sin cos sin sin cos lim 2 0 −  + = → x x x x x x x x x x x sin sin cos lim sin sin cos lim 2 0 0 −  + = → → 其中第一个极限容易求出 2 sin sin cos lim 0 = + → x x x x x 用洛比塔法则求第二个极限: x x x x x x x x x x x x x 2 sin cos sin lim sin sin cos lim 2 0 2 0 + = − → → 分子与分母同除以 x sin x ,得到 x x x x x x x x x x x cos sin 2 1 lim 2 sin cos sin lim 0 2 0 + = → + → = 3 1 2 1 1 cos sin 2 lim 1 0 = + = + → x x x x 注: 由这个极限的运算过程可以看出,求不定式极限不一定仅仅运 用洛比塔法则, 综合运用洛比塔法则与极限,可以数运算过程得到简 化. 例 5: 求极限 x x x x 1 cos 1 0 ) sin lim ( − → 解: 先求右极限 x x x x 1 cos 1 0 ) sin lim ( − → + ,这是  1 型不定式极限. 令 y = x x x 1 cos 1 ) sin ( − , 则 ) sin ln( 1 cos 1 ln x x x y − = . = → + y x lim ln 0 ( ) x x x x 1 cos ln sin ln lim 0 − − → + = = x x x x x x 2 0 sin cos sin lim − → + = 3 1 − 即， x x x x 1 cos 1 0 ) sin lim ( − → + 3 1 0 lim − → = = + y e x . 因为 x x x 1 cos 1 ) sin ( − 是偶函数, 得到