关于张量积的若干事实 章璞 上海交通大学数学科学学院 2021年11月12日 §1平坦而非投射模的例子 定理1.1（平坦模判定的Baer准则）设R是环 ()左R模M是平坦模当且仅当对于R的所有右理想1， 0-→I⑧RMLR⑧rM 是正合列，其中i:IR一R是嵌入映射 (②)右R模M是平坦模当且仅当对于R的所有左理想1， 0-→M⊙RILM⑧RR 是正合列，其中i:Rl一RR是嵌入映射 证。只证(2).结论()类似可证 ②)必要性是显然的.下证充分性.分两步证明充分性 第1步.设有包含同态f:A一V,其中V是自由模.我们要证明如下序列的正合性： 0-→M©RAeM③RK 设y=iE)是V的-组R基设有，品，m⑧a∈M@nA使得 (1M8Rf(∑m®Ra)-∑ 。%®= 适当重排指标集I后可设)一，品。队根据假设，在M@rV内有 1<<n1<<t 这里只涉及到V的一个有限秩子模，思。，为此我们假设V的秩为n<心 登思。则V-Ko6令A-An,-W我们得到如下 两行均正合的交换图 0→4→A→ 0 'u‹˛»eZØ¢ Ÿ‚ ˛°œåÆÍÆâÆÆ 2021 c 11  12 F §1 ²" ö›~f ½n 1.1 (²"½ Baer OK)  R ¥Ç. (1) Ü R- M ¥²"Ö=Èu R §kmné I, 0 −→ I ⊗R M i⊗1 −−→ R ⊗R M ¥‹, Ÿ• i : IR ,→ R ¥i\N. (2) m R- M ¥²"Ö=Èu R §kÜné I, 0 −→ M ⊗R I 1⊗i −−→ M ⊗R R ¥‹, Ÿ• i : RI ,→ RR ¥i\N. y. êy (2). (ÿ (1) aqåy. (2) 7á5¥w,. eyø©5. ©¸⁄y²ø©5. 1 1 ⁄. kù¹” f : A ,→ V , Ÿ• V ¥gd. ·Çáy²XeS‹5: 0 −→ M ⊗R A 1M⊗f −−−−→ M ⊗R V.  Y = {yi | i ∈ I} ¥ V ò| R-ƒ. k P 1≤j≤t mj ⊗ aj ∈ M ⊗R A ¶ (1M ⊗R f)( X 1≤j≤t mj ⊗R aj ) = X 1≤j≤t mj ⊗R f(aj ) = 0. ·­¸çI8 I ￾å f(aj ) = P 1≤i≤n rijyi . ä‚b, 3 M ⊗R V Sk 0 = X 1≤j≤t mj ⊗ f(aj ) = X 1≤i≤n ( X 1≤j≤t mj rij ) ⊗R yi . ˘pê9 V òákÅùf L 1≤i≤n Ryi . èd·Çb V ùè n < ∞.  V1 = Ry1, V2 = L 2≤i≤n Ryi . K V = V1 ⊕ V2. - A1 = A ∩ V1, A2 = A/A1. ·ÇXe ¸1˛‹Ü„ 0 /A1 /  _ f1  A /  _ f  A2 /  _ f2  0 0 /V1 σ /V /V2 /0 1