2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101 话:62781785 例4.6设x>0,证明不等式 丌x 2 arctan(x+D) +2x+ 【证】(方法1)由x>O,只需证明不等式 arctan(x+1) 41 x2+2x+2 注意到 arctan I2 ,对任意X∈(0,∞)令 4 f(x)= arctan,则有 arctan(x 4f(x)-f(1 (x+1)-1 在[1,1+x]上用Lgag中值定理则有 arctan(x 1) 4 ∈(l,x+ 1) (x+1)-11+2 因,2为单调减函数,于是 1+ arctan(x+1) 4 x2+2x+2 x (方法2)令 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 10清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 4.6 设 x > 0 ，证明不等式 4 2 arctan( 1) 2 2 2 x x x x x < + − < + + π 。 【证】（方法 1）由 x > 0 ，只需证明不等式 2 4 1 arctan( 1) 2 2 1 2 < + − < + + x x x x π ， 注意到 4 arctan1 π = ，对任意 x ∈(0, ∞) 令 f (x) = arctan x ，则有 ( 1) 1 4 ( ) (1) arctan( 1) + − − = + − x f x f x x π 在[1,1+ x]上用 Lagrange 中值定理则有 , (1, 1) 1 1 ( 1) 1 4 arctan( 1) 2 ∈ + + = + − + − x x x ξ ξ π 因 2 1 1 + x 为单调减函数，于是 2 4 1 arctan( 1) 2 2 1 2 < + − < + + x x x x π 。 （方法 2）令 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 10 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785