第5章一阶语言的结构和真值理论 第2节可定义性 (2)Vu1 Pcu; (3)v1Pv201 例53.证明或否证下列命题 (1) Vu1 QU1 2)Qu1}v1Qn1° 第2节可定义性 有了}σ的概念之后,我们可以利用它来讨论所谓的可定义性。一方面我们可以 固定一个(或一族)公式σ(或∑)来探讨什么样的结构可以满足它(或它们);另一方 面,我们也可以固定一个结构α来探讨|a哪些子集或关系可以被公式φ描述。前者是 在数学中很常见;后者则在数理逻辑中非常重要。 对一个闭语句集∑我们用Mod∑来表示由∑的模型所组成的类。5如果∑是单个闭 语句的集合{r},我们则用"Modr”而不用“Mod{r}。我们称(同一个一阶语言上) 的结构类K为一个初等类(EC)6如果存在闭语句r使得K是Modr。我们称人为一个 广义初等类(EC△)如果存在闭语句集∑,使得K是Mod∑。 例54.令一阶语言L={≈,P}其中P是一个二元谓词符号。令T为下列三个闭语句的合 Vary vz(xPy→yP2→xPz); vry( cPy v.≈ yVyPa); vrvy(xPy→=yPx) 则任何τ的模型都是一个(严格的)线序。所以,所有非空的线序集构成的类是一个初等 类 注:从上例我们可以看出:如果∑是一个有穷的闭语句集,则K=Mod∑是一个初 等类。 5这里的类是相对集合而言,一般说来,Md∑不是一个集合,不然会有悖论。但类和集合的差异对我们的讨论影响 不大,初学者可以暂时忽略 6初等类,英文为 elementary class;广义初等类,英文为 elementary class in a wider sense。有人也把 elementary翻译成 基本。大致上说,初等也好,基本也好,都指的是一阶逻辑所表达的性质,而非所谓的用“高阶”语言描述的“高阶” 性质第 5 章 一阶语言的结构和真值理论 第 2 节 可定义性 (2) ∀v1P cv1； (3) ∀v1P v2v1。 例 5.3. 证明或否证下列命题： (1) ∀v1Qv1 |= Qv1； (2) Qv1 |= ∀v1Qv1。 第 2 节 可定义性 有了 A |= σ 的概念之后，我们可以利用它来讨论所谓的可定义性。一方面我们可以 固定一个（或一族）公式 σ（或 Σ）来探讨什么样的结构可以满足它（或它们）；另一方 面，我们也可以固定一个结构 A 来探讨 | A | 哪些子集或关系可以被公式 φ 描述。前者是 在数学中很常见；后者则在数理逻辑中非常重要。 对一个闭语句集 Σ 我们用 Mod Σ 来表示由 Σ 的模型所组成的类。5如果 Σ 是单个闭 语句的集合 {τ}，我们则用“Mod τ”而不用“Mod {τ}”。我们称（同一个一阶语言上） 的结构类 K 为一个初等类 （EC）6 如果存在闭语句 τ 使得 K 是 Mod τ。我们称 K 为一个 广义初等类 （EC∆）如果存在闭语句集 Σ，使得 K 是 Mod Σ。 例 5.4. 令一阶语言 L = {≈, P} 其中 P 是一个二元谓词符号。令 τ 为下列三个闭语句的合 取： ∀x∀y∀z (xP y → yP z → xP z); ∀x∀y (xP y ∨ x ≈ y ∨ yP x); ∀x∀y (xP y → ¬yP x)。 则任何 τ 的模型都是一个（严格的）线序。所以，所有非空的线序集构成的类是一个初等 类。 注：从上例我们可以看出：如果 Σ 是一个有穷的闭语句集，则 K = Mod Σ 是一个初 等类。 5这里的类是相对集合而言，一般说来，Mod Σ 不是一个集合，不然会有悖论。但类和集合的差异对我们的讨论影响 不大，初学者可以暂时忽略。 6初等类，英文为 elementary class；广义初等类，英文为 elementary class in a wider sense。有人也把 elementary 翻译成 基本。大致上说，初等也好，基本也好，都指的是一阶逻辑所表达的性质，而非所谓的用“高阶”语言描述的“高阶” 性质。 5