证:令 则 2xyf(u) az 1 2y - flu (u) y fu) f(u) 1a2+12-2yx、ffd x Ox y ay f(u) yf(u y 例10、设z=f(2x-y)+g{x,xy),其中f()阶可导,g,y)具有 二阶连续偏导数 求a乙 解:ax =f{t):2+gu +g. y =2ft)(-1 g+ylg.0+gw.x =-2f(t)+xg +gy+ xyg 例1l、设u=yv=Y,试将方程x02z,a2z x oys0变换成以u,v 为自变量的方程,其中函数z具有二阶连续偏导数。 解: a'z_ 2y az_y aza a'z u _2y az+y2a'z Dy 2 Ox VoU ax例 9、设 f(x - y ) y z 2 2 = ，求证 2 y z y z y 1 x z x 1 =   +   证：令 x y u 2 2 − = 则 f(u) y z = f (u) 2xyf (u) x z 2 −  =   f (u) 2y f (u) f(u) 1 y z 2 2  = +   f (u) 2yf (u) yf(u) 1 f (u) 2yf (u) y z y 1 x z x 1 2 2  + + −  =   +   2 y z yf(u) 1 = = 例 10、设 z = f(2x − y)+ g(x , xy) ，其中 f(t) 二阶可导， g(u , v) 具有 二阶连续偏导数。 求 x y z 2    解： f (t) 2 g g y x z u v =   +  +     2f (t) ( 1) g 0 g x g yg 0 g x x y z u uv v vu vv 2 =   − +   +   +  +   +      xguv gv xygvv = −2f(t) +  +  +  例 11、设 x y u = y, v = ，试将方程 0 x y z x z x 2 2 2 =    +   变换成以 u , v 为自变量的方程，其中函数 z 具有二阶连续偏导数。 解： ) x y ( v z x v v z x u u z x z 2 −   =      +      =   2 2 4 2 3 2 2 2 2 3 2 2 v z x y v z x 2y x u v u z x v v z x y v z x 2y x z   +    =           +     −   =  