9.1逼近问题的描述 上述不等式两边取极限，有x-m‖≤d(x,M).另一方面，m∈M有lz-m‖≥ d(x,M).因此，存在m°∈M使得川x-m‖=d(z,成立. 0 推论9.3若M是X的线性子空间，且dim()<+oo,则对任意的x∈X,存在 最佳逼近元m*∈M. 证明下面先证明X的任意有限维有界闭子集F是紧集.因F是X的有限维线性 子空间，故存在一个线性无关集{1,2，，fn,使得每个∫∈F都可唯一的表示成 f=f+λ2f2+…+入fn,入=(1，入2，…，入n)T∈Rm. 因此，定义映射T:R”+F,T(A)=∫.记集合N={A∈R”:T()∈F,则F可视 为N在映射T下的像，且不难看出T在R”的‖I~范数下是连续映射， 设N中任意收敛的序列，！im入a=X,则 T()=T(im A)=lim T(A). 因F是闭集，故T(A)∈F.据N的定义，知∈N.因此，N是闭集. 记集合S={入∈R”:lx=1,显然S是一个紧集，且T在S上连续.因此， IT()训的下确界a在S上能取到.由于五，2，·，n是线性无关的，从而a>0.对 于任意的（≠0）∈N,则有 IT(A)川=T(/川AI✉)川·IAI。≥alIe 因川T(A)川在F上有界，故IA在N上有界. 综上，N是R”的有界闭集，故是一个紧集.又因为F是N在连续映射下的像，所 以F也是一个紧集 记集合K={m∈M:m-x≤‖z},显然0∈K,故集合K非空.容易看出 K是X的一个有限维的有界闭子集，利用前面的结论可知K是一个紧集.考虑函数 f:K→R f(m)=lm-xl,m∈K, 由引理9.1知f(m)是K上的连续函数.因此，f(m)在紧集K上可以取到最小值，即存 在m*∈M使得x-m*‖=d(x,M)成立. 上述定理及推论回答了一般赋泛线性空间最佳逼近元的存在性问题， 9.1 逼近问题的描述 5 上述不等式两边取极限, 有 ∥x − m∗∥ 6 d(x, M). 另一方面, m∗ ∈ M 有 ∥x − m∗∥ > d(x, M). 因此, 存在 m∗ ∈ M 使得 ∥x − m∗∥ = d(x, M) 成立. 推论 9.3 若 M 是 X 的线性子空间, 且 dim(M) < +∞, 则对任意的 x ∈ X, 存在 最佳逼近元 m∗ ∈ M. 证明 下面先证明 X 的任意有限维有界闭子集 F 是紧集. 因 F 是 X 的有限维线性 子空间, 故存在一个线性无关集 {f1, f2, . . . , fn}, 使得每个 f ∈ F 都可唯一的表示成 f = λ1f1 + λ2f2 + · · · + λnfn, λ = (λ1, λ2, · · · , λn) T ∈ R n . 因此, 定义映射 T : R n 7→ F, T(λ) = f. 记集合 N = {λ ∈ R n : T(λ) ∈ F}, 则 F 可视 为 N 在映射 T 下的像, 且不难看出 T 在 R n 的 ∥ · ∥∞ 范数下是连续映射. 设 N 中任意收敛的序列 lim n→∞ λn = λ ∗ , 则 T(λ ∗ ) = T( lim n→∞ λn) = lim n→∞ T(λn). 因 F 是闭集, 故 T(λ ∗ ) ∈ F. 据 N 的定义, 知 λ ∗ ∈ N. 因此, N 是闭集. 记集合 S = {λ ∈ R n : ∥λ∥∞ = 1}, 显然 S 是一个紧集, 且 T 在 S 上连续. 因此, ∥T(λ)∥ 的下确界 α 在 S 上能取到. 由于 f1, f2, · · · , fn 是线性无关的, 从而 α > 0. 对 于任意的 λ(̸= 0) ∈ N, 则有 ∥T(λ)∥ = ∥T(λ/∥λ∥∞)∥ · ∥λ∥∞ > α∥λ∥∞. 因 ∥T(λ)∥ 在 F 上有界, 故 ∥λ∥∞ 在 N 上有界. 综上, N 是 R n 的有界闭集, 故是一个紧集. 又因为 F 是 N 在连续映射下的像, 所 以 F 也是一个紧集. 记集合 K = {m ∈ M : ∥m − x∥ 6 ∥x∥}, 显然 0 ∈ K, 故集合 K 非空. 容易看出, K 是 X 的一个有限维的有界闭子集, 利用前面的结论可知 K 是一个紧集. 考虑函数 f : K 7→ R, f(m) = ∥m − x∥, ∀m ∈ K, 由引理9.1知 f(m) 是 K 上的连续函数. 因此, f(m) 在紧集 K 上可以取到最小值, 即存 在 m∗ ∈ M 使得 ∥x − m∗∥ = d(x, M) 成立. 上述定理及推论回答了一般赋泛线性空间最佳逼近元的存在性问题.