·592· 智能系统学报 第14卷 10000 于-A矩阵为对角线均为的实对称矩阵，且 10000 其中的元素仅有0和-1两种，因此从形成的难易 1 0000 01000 程度上来看，在入-A矩阵中形成零向量相关、重 00100 复相关比非重复相关要容易很多，即所有 3)非重复相关即存在不同的行向量，它们之 入-A矩阵的行相关中绝大部分都是零向量相关 间存在相关性。以A.表示A的第x行，则非重复 和重复相关。由定理1和定理2可知，零相关均 相关表现为 由特征值0决定，重复相关均由特征值0/-1决 Aio=kAi+kA++kmAim 定，不难得出，相对于其他特征值，特征值0/-1极 例如A,=A+A2,如下所示： 大地影响着-A矩阵的相关性，即网络中绝大 「100001 部分的最小控制输入节点是由特征值0/-1所决 01000 11000 定的。 00100 00010 3可控性优化 2.20/-1特征值与行相关性的关系 在上述3种相关情况中，非重复相关与特征 相对于0/-1特征值而言，非0-1特征值对可 值之间的联系很难找到：而零向量相关与0特征 控性的影响相对较小，并且难以找到具有明显规 律性的特征结构。而0/-1特征值对可控性的影 值、重复相关与0/-1特征值之间存在着明显的联 响相对较大，并且具有明显的对应特征结构。因 系，具体联系可由下述两个定理描述： 此，可以通过消除0/-1的特征结构，从而减小 定理1如果矩阵-A中存在着零向量相 关，则对应特征值一定为0。 0/-1对应1-A矩阵中的行相关性，最终达到提 证明设矩阵-A中零向量行为第i行，即 高网络可控性的目的，实现网络的可控性优化。 [-a1-a2…-ai-k-aG+y…-aw]=0 3.10特征结构 则有 在特征值0对应的特征结构中，存在着一种 aa=0,x=l,2…,N且x≠i。证毕 具有明显规律性的特征结构，其具体定义如下： 1=0 定义1独立共连结构。独立共连结构是指 定理2如果矩阵-A中存在着行重复相 网络中存在若干节点（称为对象节点），这些节点 关，则对应特征值，一定为0或-1。 之间是独立不相连的，且它们与网络中其他节点 证明设矩阵1I-A中重复相关的行为第 的连接状况完全相同。如图1中的对象节点1、 i行和第j行，即 2、3构成了独立共连结构。 [-aa-az.-aai-1-aait)-anj-)-aij-aaj).-aiN]= -a1-a2-at-)-at-a+).-a-1)k-aj+1)-aw 则有 ∫ax=ax,x=1,2,…,N,x≠i,j ay=an=-hk 因为A中的元素仅有0或1，即a=0或a1, 所以40或-1。证毕 由定理1和定理2可知，在-A矩阵的所有 图1独立共连结构 行相关中，如果存在零向量相关，那么一定是0特 Fig.1 The isolated link structure 征值决定的：如果存在重复相关，那么一定是 对于上述的独立共连结构，存在着一种特殊 0/-1特征值决定的。其他非0/-1特征值所对应 情况：当对象节点与网络中其他节点的连接情况 的-A矩阵不可能出现零向量相关和重复相关。 均为不相连时，对象节点均为孤立节点。 对于零向量相关、重复相关和非重复相关这 独立共连结构与特征0的关系可由下述定理 3种-A矩阵的行相关性而言，形成零向量相关 描述： 至少需要有一行为全零行，形成重复相关至少需 定理3如果一个网络中存在独立共连结 要有两行完全相同，形成非重复相关至少需要有 构，则该网络的邻接矩阵A具有特征值0。 三行并且通过合适的系数组成相关组。而且由 证明邻接矩阵A的特征值λ，满足：  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0   3) 非重复相关即存在不同的行向量，它们之 间存在相关性。以 Ax 表示 A 的第 x 行，则非重复 相关表现为 Ai0 = k1Ai1 +k2Ai2 +···+km Aim 例如 A3=A1+A2，如下所示：   1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0   2.2 0/−1 特征值与行相关性的关系 在上述 3 种相关情况中，非重复相关与特征 值之间的联系很难找到；而零向量相关与 0 特征 值、重复相关与 0/−1 特征值之间存在着明显的联 系，具体联系可由下述两个定理描述： 定理 1 如果矩阵 λkI−A 中存在着零向量相 关，则对应特征值 λk 一定为 0。 证明 设矩阵 λkI−A 中零向量行为第 i 行，即 [ −ai1 −ai2 ··· −ai(i−1)λk −ai(i+1) ··· −aiN] = 0 则有 { aix = 0, x=1,2,··· ,N且x , i λk= 0 。 证毕 定理 2 如果矩阵 λkI−A 中存在着行重复相 关，则对应特征值 λk 一定为 0 或 −1。 证明 设矩阵 λ k I−A 中重复相关的行为第 i 行和第 j 行，即 [ −ai1−ai2···−ai(i−1)λk−ai(i+1)···−ai(j−1)−ai j−ai(j+1) ··· −aiN] = [ −aj1−aj2···−aj(i−1)−aji−aj(i+1) ··· −aj(j−1)λk−aj(j+1) ···−ajN] 则有 { aix = ajx, x=1,2,··· ,N,x , i, j ai j = aji = −λk 因为 A 中的元素仅有 0 或 1，即 aij=0 或 aij=1， 所以 λk=0 或 λk=−1。证毕 由定理 1 和定理 2 可知，在 λkI−A 矩阵的所有 行相关中，如果存在零向量相关，那么一定是 0 特 征值决定的；如果存在重复相关，那么一定是 0/−1 特征值决定的。其他非 0/−1 特征值所对应 的 λkI−A 矩阵不可能出现零向量相关和重复相关。 对于零向量相关、重复相关和非重复相关这 3 种 λkI−A 矩阵的行相关性而言，形成零向量相关 至少需要有一行为全零行，形成重复相关至少需 要有两行完全相同，形成非重复相关至少需要有 三行并且通过合适的系数组成相关组。而且由 于 λkI−A 矩阵为对角线均为 λk 的实对称矩阵，且 其中的元素仅有 0 和 −1 两种，因此从形成的难易 程度上来看，在 λkI−A 矩阵中形成零向量相关、重 复相关比非重复相关要容易很多，即所 有 λkI−A 矩阵的行相关中绝大部分都是零向量相关 和重复相关。由定理 1 和定理 2 可知，零相关均 由特征值 0 决定，重复相关均由特征值 0/−1 决 定，不难得出，相对于其他特征值，特征值 0/−1 极 大地影响着 λkI−A 矩阵的相关性，即网络中绝大 部分的最小控制输入节点是由特征值 0/−1 所决 定的。 3 可控性优化 相对于 0/−1 特征值而言，非 0/−1 特征值对可 控性的影响相对较小，并且难以找到具有明显规 律性的特征结构。而 0/−1 特征值对可控性的影 响相对较大，并且具有明显的对应特征结构。因 此，可以通过消除 0/−1 的特征结构，从而减小 0/−1 对应 λkI−A 矩阵中的行相关性，最终达到提 高网络可控性的目的，实现网络的可控性优化。 3.1 0 特征结构 在特征值 0 对应的特征结构中，存在着一种 具有明显规律性的特征结构，其具体定义如下： 定义 1 独立共连结构。独立共连结构是指 网络中存在若干节点 (称为对象节点)，这些节点 之间是独立不相连的，且它们与网络中其他节点 的连接状况完全相同。如图 1 中的对象节点 1、 2、3 构成了独立共连结构。 1 2 3 4 5 … … … … 图 1 独立共连结构 Fig. 1 The isolated link structure 对于上述的独立共连结构，存在着一种特殊 情况：当对象节点与网络中其他节点的连接情况 均为不相连时，对象节点均为孤立节点。 独立共连结构与特征 0 的关系可由下述定理 描述： 定理 3 如果一个网络中存在独立共连结 构，则该网络的邻接矩阵 A 具有特征值 0。 证明 邻接矩阵 A 的特征值 λk 满足： ·592· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷