支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉 格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人 前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至 被称为“分析的世纪 然而 此同时 八世纪粗糙的， 不亚 密的工作也导致 谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举 无穷级数为例。 无穷级数S=1一1+1一1+1…到底等于什么？ 当时人门认为一方面S=(1一1)+(1一1)+=0：另一方面，S =1411)4（1-1) ,=1,那么岂非0=1？这一矛盾竟使傅立叶 那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难 以饶恕的错误。他在得到 1+x+x2+2+.=1/(1-x) 后，令x=一1，得出 S=1-1+1-1+1…=1/21 由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当 时分析中任何 比较细致的问题，如级数、积分的收敛性 微分积分的换序 高阶微分的使用以及微分方程解的存在性…都几乎无人过问。尤其到十九世纪 初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音， 把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪， 批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于 1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列 基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列 不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特 拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε石”方法。另外，在柯西的努力下， 连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不 支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉 格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人 前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。18 世纪有时甚至 被称为“分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致 谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一 无穷级数为例。 无穷级数 S＝1－1＋1－1＋1„„„到底等于什么？ 当时人们认为一方面 S＝（1－1）＋（1－1）＋„„„＝0；另一方面，S ＝1＋（1－1）＋（1－1）＋„„„＝1，那么岂非 0＝1？这一矛盾竟使傅立叶 那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难 以饶恕的错误。他在得到 1 + x + x 2 + x 3 + ..... = 1/(1- x) 后，令 x = －1，得出 S＝1－1＋1－1＋1„„„＝1／2！ 由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当 时分析中任何一个比较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、 高阶微分的使用以及微分方程解的存在性„„都几乎无人过问。尤其到十九世纪 初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样，消除不谐和音， 把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪， 批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于 1821 年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列 基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列 不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特 拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε -δ ”方法。另外，在柯西的努力下， 连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不