§4矩阵的秩 、矩阵的秩 如果把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由这些向量组成 的同样,如果把每一列看成一个向量,那么矩阵也可以认为是由列向量组成的 定义15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵 的列向量组的秩 例如,矩阵 3 0 1200 05 00 的行向量组是 a1=(1,1,3,1),a2=(0,2,-1,4),a3=(0,00,5),a4=(0,0.0,0) 它的秩是3它的列向量组是 B1=(1,0,0,0),B2=(1,20,0),B3=(3,-1,0,0),B4=(1,45,0) 它的秩也是3 矩阵A的行秩等于列秩,这点不是偶然的 引理如果齐次线性方程组 anx1+a2x2+…+a1nxn=0 a2x1+a2x2+…+a2nxn=0, x,+ 的系数矩阵 2 A 2n a 2 的行秩r<n,那么它有非零解 定理4矩阵的行秩与列秩相等 因为行秩等于列秩,所以下面就统称为矩阵的秩 、矩阵的秩与行列式的联系§4 矩阵的秩 一、矩阵的秩 如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成 的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的. 定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵 的列向量组的秩. 例如，矩阵               − = 0 0 0 0 0 0 0 5 0 2 1 4 1 1 3 1 A 的行向量组是 (1,1,3 ,1), (0,2, 1,4) , (0,0,0,5), (0,0,0,0) 1 =  2 = − 3 =  4 = 它的秩是 3.它的列向量组是 (1,0,0,0) , (1,2,0,0) , (3, 1,0 ,0) , (1,4 ,5,0) 1 2 3 4  =   =   = −   =  它的秩也是 3. 矩阵 A 的行秩等于列秩，这点不是偶然的. 引理 如果齐次线性方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （1） 的系数矩阵               = s s sn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 的行秩 r  n ，那么它有非零解. 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩. 二、矩阵的秩与行列式的联系