知不存在x,使得∫(x)=∞,所以这样的点(a,b)不存在。 3.设f(x)为(-0,+∞)上的可导函数,且在x=0的某个邻域上成立 f(+sin x)-3f1-sin x)=8x+a(x) 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在(1,f() 处的切线方程 解记F(x)=f(+sinx)-3f(-sinx),可得imF(x)=-2f(1)=0,即f(1)=0 由 F(x) lim Bx+a(x) 与 lim F(r) f(1+sin x =im )-f()sin x-3liml f(1-sin x)-f()sinx 4f(1), x→0 sIn x sInx 得到f/(1)=2。于是曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=2(x-1)。 证明:从椭圆的一个焦点发出的任一束光线,经椭圆反射后,反 射光必定经过它的另一个焦点。(见图425) 证设椭圆方程为 l,a>b>0,焦点坐标为 (±c0)c=Va2-b2。假设(xn,y)为椭圆 上任意一点,当y=0时结论显然成立。现设y≠0,则过此点的切线 斜率为bx,(x0)与焦点+c0连线的斜率为tnO1=, xo+c 此连线与切线夹角的正切为 tan 0.-tan e 利用c2=a2-b2和 1+tan 0. tane =1代入计算,得到知不存在 x ，使得 f '(x) = ∞，所以这样的点( , a b)不存在。 3．设 f (x)为(−∞,+∞) 上的可导函数，且在 x = 0的某个邻域上成立 f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x) = 8x +α(x)， 其中α(x)是当 x → 0时比 x高阶的无穷小。求曲线 y = f (x)在 处的切线方程。 (1, f (1)) 解 记F(x) = f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x)，可得lim ( ) 2 (1) 0 0 = − = → F x f x ，即 。 由 f (1) = 0 0 0 ( ) 8 ( ) lim lim 8 x x F x x x x x α → → + = = 与 0 0 0 ( ) (1 sin ) (1) sin (1 sin ) (1) sin lim lim 3lim 4 '(1) x x sin x sin F x f x f x f x f x f → → x x x → x x ⎡ ⎤ + − ⎡ − − = ⋅ − ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥ ⎦ ， 得到 f '(1) = 2。于是曲线 y = f (x)在(1, f (1))处的切线方程为 y = 2(x −1)。 4． 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反 射光必定经过它的另一个焦点。 （见图 4.2.5） 证 设椭圆方程为 1 0 2 2 2 2 + = a > b > b y a x ， ，焦点坐标为 2 2 (±c,0), c = a − b 。假设 为椭圆 上任意一点，当 时结论显然成立。现设 ( , ) 0 0 x y y0 = 0 y0 ≠ 0，则过此点的切线 斜率为 0 2 0 2 tan a y b x θ = − ，(x0 , y0 )与焦点(−c,0)连线的斜率为 x c y + = 0 0 1 tanθ ， 此连线与切线夹角的正切为 θ θ θ θ 1 tan tan tan tan 1 1 + − k = 。利用 c 2 = a 2 − b2 和 1 2 2 0 2 2 0 + = b y a x 代入计算，得到 59