§3积分不等式 主要知识点: Neton- Leibnitz公式,变上限积分性质,积分中值定理,分部积分公式 范例 1、设f(x)在[a,b连续可微且f(a)=0,求证 ff(x)dx 证:f(x)=「f(ot,所以 两边对ⅹ积分即证。 2、设g(x)在0,a连续可微且g(0)=0,求证: g(x)g (x)dx 证:10My=x),且b()=(,于是有 ∫gog(0x)()h=6(0)=2(C()=(h 2 3、设f(x)≥0,∫"(x)≤0,求证:f(x)≤ f(xdx 证:设t∈[a,b],在点t处将f(x)展开成泰勒公式 f(x)=f(1)+f(x-1)+∫"(5,)x-t)2≤f()+f(1)x-1),对t积分得 (b-af(x)s∫fo+∫(x=)(oM=2/o+(x-b)(b)+(a-x)/(a) 2∫d,(:(x-b)(x)≤0,(a-x)f(a)≤0) 4、设f(x)在[a,b]连续且单调增加,求证: xf(x)dx b ∫(x)26 §3 积分不等式 主要知识点:Neton-Leibunitz 公式,变上限积分性质,积分中值定理,分部积分公式。 范例: 1、 设 f(x)在[a,b]连续可微且 f(a)= 0 ,求证: − b a b a f x dx b a f x dx 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 。 证: = x a f (x) f (t)dt ,所以 f x f t dt dt f t dt x a f t dt a x b b a x a x a x a − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 。 两边对 x 积分即证。 2、 设 g(x)在[0,a]连续可微且 g(0)=0,求证: g x dx a g x g x dx a a 0 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) 。 证 : ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 0 g x g t dt g t dt h x h x g x x x = = = 且 记 ,于是有 g x dx a g x g x dx h x h x dx h a g x dx a a a a = = 0 2 2 0 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 。 3、 设 − b a f x dx b a f x f x f x ( ) 2 ( ) 0 , ( ) 0 , 求证: ( ) 。 证:设 t [a,b],在点 t 处将 f(x)展开成泰勒公式: ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 f x f t f t x t f x t f t f t x t = + − + t − + − ,对 t 积分得 2 ( ) , ( ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − + − = + − + − f t dt x b f x a x f a b a f x f t dt x t f t dt f t dt x b f b a x f a b a b a b a b a 4、 设 f(x)在[a,b]连续且单调增加,求证: + b a b a f x dx a b xf x dx ( ) 2 ( )