第一学期第二十次课 422子空间的交与和,生成元集 定义413设a1a2…,aEV,则{a+ka2+…+k,|k∈K=12…是V的 个子空间,称为由a2a2…,a,生成的子空间,记为L(a,a2…,∝1)。易见,生成的子空 间的维数等于 的秩 定义414子空间的交与和 设,V2为线性空间ⅤK的子空间,定义 V1∩n2={v∈且v∈l2},称为子空间的交; V+2={1+v2|v∈V1V2∈H2},称为子空间的和 命题49V∩v2和V+V2都是V的子空间 证明: 由命题,只需要证明V∩V2和V+V2关于加法与数乘封闭即可。 事实上,Va,B∈V1∩V2,则a,B∈H1,a,B∈V2。由于V1,V2均是V的子空间,则 a+B∈V1,a+f∈V2,于是a+B∈∩H2,V∩2关于加法封闭,Va∈V∩v2,k∈k, k∈H1,h∈2,于是h∈H∩v2,H∩V2关于数乘封闭;Va,B∈H1+V2,则由H+2 的定义,彐a1B∈V,a2,B2∈V2,使得a=a1+∝2,B=B+B2,而 a1+B1∈H1,a2+B2∈V2,则 a+B=(a1+a2)+(B+B)=(a1+B)+(a2+B2)∈V1+H2,1+H2关于加法封闭, Va∈V+H2k∈K,彐a∈H1,a2∈V2,使得a=a1+a2,由于ka1∈1,ka2∈2,则 ka=k(ax1+a2)=ka1+ka2∈H1+V2,V1+V2关于数乘封闭 证毕 命题410设V,F2…,V是V的子空间,则∩V2∩…∩Vm和V+V2+…+Vm均为V的 子空间 42.3维数公式。 定理41设Ⅴ为有限维线性空间,V,V2为子空间,则 dim(i+V2)=dimV, +dim V-dim(nv2) 这个定理中的公式被称为维数公式 证明: i dimV=S, dimV2=t, dim(V,+V)=n, dim(nv=r第一学期第二十次课 4.2.2 子空间的交与和，生成元集 定义 4.13 设 1 2 , , ,   t V ，则 k k k k K i t 1 1 2 2    + + +  = t t i | , 1,2, ,  是 V 的一 个子空间，称为由 1 2 , , ,   t 生成的子空间，记为 1 2 ( , , , ) L   t 。易见，生成的子空 间的维数等于 1 2 , , ,   t 的秩。 定义 4.14 子空间的交与和 设 1 2 V V, 为线性空间 V/K 的子空间，定义 1 2 1 2 V V v V v V =   { } 且 ，称为子空间的交； 1 2 1 2 1 1 2 2 V V v v v V v V + = +   { | , } ，称为子空间的和。 命题 4.9 V V 1 2 和 V V 1 2 + 都是 V 的子空间。 证明： 由命题 ，只需要证明 V V 1 2 和 V V 1 2 + 关于加法与数乘封闭即可。 事实上， 1 2    , V V ，则 1  , V ， 2  , V 。由于 1 2 V V, 均是 V 的子空间，则 1 2     +  +  V V , ，于是   + V V 1 2 ，V V 1 2 关于加法封闭，   V V 1 2 ，k K  ， 1 2 kv V kv V   , ，于是 1 2 kv V V  ，V V 1 2 关于数乘封闭； 1 2   +  , V V ，则由 V V 1 2 + 的 定 义 ， 1 1 1 2 2 2        , , , V V ，使得 1 2 1 2       = + = + , ， 而 1 1 1 2 2 2     +  +  V V , ，则 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2           + = + + + = + + +  + ( ) ( ) ( ) ( ) V V ，V V 1 2 + 关于加法封闭， 1 2   +   V V k K , ， 1 1 2 2      V V , ，使得    = +1 2 ，由于 1 1 2 2 k V k V     , ，则 1 2 1 2 1 2 k k k k V V      = + = +  + ( ) ，V V 1 2 + 关于数乘封闭。 证毕。 命题 4.10 设 1 2 , , , V V Vm 是 V 的子空间，则 V V V 1 2 m 和 V V V 1 2 + + + m 均为 V 的 子空间。 4.2.3 维数公式。 定理 4.1 设 V 为有限维线性空间， 1 2 V V, 为子空间，则 1 2 1 2 1 2 dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V + = + − 。 这个定理中的公式被称为维数公式。 证明： 设 1 dimV s = ， 2 dimV t = ， 1 2 dim( ) V V n + = ， 1 2 dim( ) V V r =