第十章函数 810.2利用6函数计算定积分 利用6函数的常用积分表达式 cos kzk I cos krak 也可以计算定积分.下面通过几个例题来说明一般的计算步骤 例10.2计算积分 解考虑辅助积分 sin ar F 显然有 F()= cos Ar dr=2no(A) 所 F(A)=2m()+C 其中C为积分常数,待定.故当λ>0时, F(A)=2+C 考虑到F()是A的奇函数 即可定出C 因此 入>0; F 入<0. 特别是,当λ=1,就有 sin 2 例10.3计算积分I x2+x+1 解引进辅助积分 F(入) 它满足微分方程 ()-iF(A)+F(A)=276(入)￾✁✂ δ ✄ ☎ 7 §10.2 ➄➅ δ ❿➀➆➇➈➉➊ ➋➌ δ ➘➴➭￾➌ Ö➳✒ ❏❑ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk, ✎ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ cos kxdk = 1 π Z ∞ 0 cos kxdk, ❊✕❀★ ✛ÒÖ➳ ✕✂❥ ÿ✵➍➼ ❨➎✪ ✑ t ❐➏ ➭ ★ ✛➐➑✕ r 10.2 ★ ✛Ö➳ Z ∞ −∞ sin x x dx ✕ ➒ ➓➔→➣Ö➳ F(λ) = Z ∞ −∞ sin λx x dx, ↔↕➨ F 0 (λ) = Z ∞ −∞ cos λx dx = 2πδ(λ). ✙❀ F(λ) = 2πη(λ) + C, ✉ Ð C ➻Ö➳￾➴✔➙Ò✕➛ ➷ λ > 0 á✔ F(λ) = 2π + C, F(−λ) = C. ➓➔ã F(λ) Ù λ ➭➜➘➴✔ F(−λ) = −F(λ), F(0) = 0, ✯✕ Ò✞ C = −π ✕❪❫ F(λ) =    π, λ > 0; 0, λ = 0; −π, λ < 0. ✢✣Ù✔➷ λ = 1 ✔Ü➨ Z ∞ −∞ sin x x dx = π. r 10.3 ★ ✛Ö➳ I = Z ∞ −∞ sin 2x x 2 + x + 1 dx ✕ ➒ ✬✭→➣Ö➳ F(λ) = Z ∞ −∞ e iλx x 2 + x + 1 dx, ☎➝✹ ✖ ➳➞✶ −F 00(λ) − iF 0 (λ) + F(λ) = 2πδ(λ). (F)